【題目】(Ⅰ)如圖1,在等邊中,點是上的任意一點(不含端點, ),連結(jié),以為邊作等邊,并連結(jié).求證: .
(Ⅱ)【類比探究】
如圖2,在等邊中,若點是延長線上的任意一點(不含端點),其它條件不變,則是否還成立?若成立,請說明理由;若不成立,請寫出, , 三者間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
(Ⅲ)【拓展延伸】
如圖3,在等腰中, ,點是上的任意一點(不含端點),連結(jié),以為邊作等腰,使,試探究與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)結(jié)論不成立(Ⅲ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)通過證明 ≌,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 ,從而證得;
(Ⅱ)結(jié)論不成立,通過證明 ≌,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,由,得 ;
(Ⅲ),設(shè),由為的外角,可得,從而可得 ,又為的外角,可得 ,從而有,繼而推得 .
試題解析:(Ⅰ)∵, 都是等邊三角形,
∴, , ,
∴ 即,
在和中, ,
≌ ,
∴ ,
∴;
(Ⅱ)結(jié)論不成立,
理由: , 都是等邊三角形,
∴, , ,
∴ 即 ,
在和中, ,
≌ ,
∴,
∴,即 ;
(Ⅲ),理由:
設(shè),
∵,∴,
∵為的外角,
∴,
又,∴,
∴ ,
又為的外角,
∴ ,
∴,
∴,即 .
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°,將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.若AE=1,則FM的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點D在△ABC的AB邊上,且∠ACD=∠A.
(1)作∠BDC的平分線DE,交BC于點E(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)在(1)的條件下,判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系(不要求證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正三角形OAB的頂點B的坐標(biāo)為(2,0),點A在第一象限內(nèi),將△OAB沿直線OA的方向平移至△O′A′B′的位置,此時點A′的橫坐標(biāo)為3,則點B′的坐標(biāo)為( )
A.(4,2 )
B.(3,3 )
C.(4,3 )
D.(3,2 )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】周末小明和同學(xué)們?nèi)ァ熬G博園”的楓湖坐船,觀賞風(fēng)景;如圖,小明正在A處的小船上,B處小船上的游客發(fā)現(xiàn)點A在點B的正西方向上,C處小船上的游客發(fā)現(xiàn)點A在點C的南偏東30°方向上,已知點C在點B的北偏西60°方向上,且B、C兩地相距120米.
(1)求出此時點A到點C的距離;
(2)若小明從A處沿AC方向向C駛?cè),?dāng)?shù)竭_點A′時,測得點B在A′的南偏東75°的方向上,求此時小明所乘坐的小船走的距離.(注:結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀與理解:
三角形中一邊中點與這邊所對頂點的線段稱為三角形的中線。
三角形的中線的性質(zhì):三角形的中線等分三角形的面積。
即如圖1,AD是中BC邊上的中線,則,
理由:,,
即:等底同高的三角形面積相等。
操作與探索:
在如圖2至圖4中,的面積為a。
(1)如圖2,延長的邊BC到點D,使CD=BC,連接DA,若的面積為,則(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如圖3,延長的邊BC到點D,延長邊CA到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE,若的面積為,則_________(用含a的代數(shù)式表示);
(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點F,使BF=AB,連接FD,F(xiàn)E,得到(如圖4),若陰影部分的面積為,則________(用含a的代數(shù)式表示)
(4)拓展與應(yīng)用:
如圖5,已知四邊形ABCD的面積是a;E,F,G,H分別是AB,BC,CD的中點,求圖中陰影部分的面積?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE,則∠AEB的度數(shù)為__________.
(2)如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點A,D,E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.求∠AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年的3月22日為聯(lián)合國確定的“世界水日”,某社區(qū)為了宣傳節(jié)約用水,從本社區(qū)1000戶家庭中隨機抽取部分家庭,調(diào)查他們每月的用水量,并將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖(每組數(shù)據(jù)包括右端點但不包括左端點),請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查的樣本容量是;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖,求扇形圖中“6噸﹣﹣9噸”部分的圓心角的度數(shù);
(3)如果自來水公司將基本月用水量定為每戶每月12噸,不超過基本月用水量的部分享受基本價格,超出基本月用水量的部分實行加價收費,那么該社會用戶中約有多少戶家庭能夠全部享受基本價格?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】神奇的數(shù)學(xué)世界是不是只有鍛煉思維的數(shù)字游戲?每天都在面對繁雜的數(shù)字計算?答案當(dāng)然是否定的,曼妙的數(shù)學(xué)暢游在迷人的數(shù)字和豐富多彩的圖形之間,將數(shù)與形巧妙地融匯在一起,不可分割.我們都知道,實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng),數(shù)軸上的線段可以由端點所對應(yīng)的實數(shù)確定,這是一維的數(shù)與形;增加到兩條數(shù)軸,可以形成平面直角坐標(biāo)系,這樣有序數(shù)對與平面內(nèi)的點一一對應(yīng),平面內(nèi)的多邊形及其內(nèi)容可以由多邊形的邊上所有點的坐標(biāo)所確定,這是二維的數(shù)與形.而在平面直角坐標(biāo)系中的圖形更是神秘,在平面內(nèi)任意畫一條(或多條)曲線(或直線),它(們)把平面分割成的部分都稱為區(qū)域,特別地,如果曲線首尾相接,那么形成的有限部分也稱為封閉區(qū)域.如何研究這些區(qū)域呢?當(dāng)然離不開數(shù),我們可以通過區(qū)域內(nèi)點的坐標(biāo)規(guī)律來刻畫圖形.反過來,我們也可以根據(jù)點坐標(biāo)的規(guī)律在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)找到它們,畫出相應(yīng)的圖形.聰明的你看懂了嗎?試著做做看.
(1)分別解不等式和,并把不等式的解集畫在同一個數(shù)軸上;
(2)點P(x,y)在平面直角坐標(biāo)系的第一象限,并且橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別滿足不等式和,請畫出滿足條件的點P所在的最大區(qū)域,并求出區(qū)域的面積;
(3)去掉(2)中“點P在第一象限”這個條件,其余條件保持不變,求滿足條件的點P所在最大區(qū)域與平面直角坐標(biāo)系第二、四象限角平分線所圍成封閉區(qū)域的面積.
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