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【題目】如圖,拋物線::相交于點、分別交軸于點、,且為線段的中點.

(1)求的值;

(2)若,的面積;

(3)拋物線的對稱軸為,頂點為,在(2)的條件下:

①點為拋物線對稱軸上一動點,當的周長最小時,求點的坐標;

②如圖12.2,點在拋物線上點與點之間運動,四邊形的面積是否存在最大值?若存在,求出面積的最大值和點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2);(3)P);②存在,

【解析】

1)由兩拋物線解析式可分別用ab表示出AB兩點的坐標,利用BOA的中點可得到ab之間的關系式;

(2)由拋物線解析式可先求得C點坐標,過CCDx軸于點D,可證得OCD∽△CAD,由相似三角形的性質可得到關于a的方程,可求得OACD的長,可求得OAC的面積;

(3)①連接OCl的交點即為滿足條件的點P,可求得OC的解析式,則可求得P點坐標;

②設出E點坐標,則可表示出EOB的面積,過點Ex軸的平行線交直線BC于點N,可先求得BC的解析式,則可表示出EN的長,進一步可表示出EBC的面積,則可表示出四邊形OBCE的面積,利用二次函數的性質可求得其最大值,及E點的坐標.

解:

(1)在y=x2+ax中,

y=0時,x2+ax=0,x1=0,x2=﹣a,

B(﹣a,0),

y=﹣x2+bx中,

y=0時,﹣x2+bx=0,x1=0,x2=b

A(0,b),

BOA的中點,

b=﹣2a,

;

(2)聯立兩拋物線解析式可得:

消去y整理可得,

解得,

時,,

C,),

CCDx軸于點D,如圖1,

D,0),

∵∠OCA=90°,

∴△OCD∽△CAD

,

CD2=ADOD,即,

a1=0(舍去),(舍去),,

OA=-2a=CD==1,

;

(3)①拋物線

∴其對稱軸,點A關于l2的對稱點為O(0,0),C ,1),

P為直線OCl2的交點,

OC的解析式為y=kx

1=k,得k=

OC的解析式為,

時,,

P);

②設Em,)(),則,

B,0),C ,1),

設直線BC的解析式為y=kx+b,

,解得:k=b=-2,

∴直線BC的解析式為,

過點Ex軸的平行線交直線BC于點N,如圖2,

,即x=

EN=

S四邊形OBCE=SOBE+SEBC

,

,

∴當時,,

時,,

E,),

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