Question

如圖，已知

AB

是以點O為圓心，OA長為半徑的弧，OA⊥OB，C是

AB

的中點，OC與AB相交于點D，過D作DE∥OB，聯(lián)結(jié)OE，交AB于F，求∠EOB的度數(shù)．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系,含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

專題：計算題

分析：作DG⊥OB于G，EH⊥OB于H，如圖，由C是

AB

的中點，根據(jù)垂徑定理的推論得OD⊥AB，而△AOB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，所以△ODB為等腰直角三角形，得到DG=

1

2

OB，再證明四邊形DEHG為矩形，得到EH=DG=

1

2

OB，則EH=

1

2

OE，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到∠EOB=30°．

解答：解：作DG⊥OB于G，EH⊥OB于H，如圖，
∵C是

AB

的中點，
∴OD⊥AB，
∵OA⊥OB，
而OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∴△ODB為等腰直角三角形，
∴DG=

1

2

OB，
∵DE∥GH，DG⊥OB，EH⊥OB，
∴四邊形DEHG為矩形，
∴EH=DG=

1

2

OB，
而OB=OE，
∴EH=

1

2

OE，
∴∠EOH=30°，
即∠EOB=30°．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．