Question

如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（3，3）．將正方形ABCO繞點A順時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AP、AG．

（1）求證：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關系，說明理由；

（3）當∠1=∠2時，求直線PE的解析式；

（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點M，使以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：由題意得，

AO=AD，∠AOG=∠ADG=90°，

∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，

∴△AOG≌△ADG（HL）.                                       ……2分

（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP.理由如下：

由（1）同理可證△ADP≌△ABP，則∠DAP=∠BAP，DP=BP，

∵由（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG，DG=OG，

又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°.

∴PG=DG+DP=OG+BP.                                          ……6分

（3）∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，

又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，∴∠1=∠2=30°，

在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，

∴G點坐標為（，0），CG=3﹣，

在Rt△PCG中，PC==-3， ∴P點坐標為：（3，-3）

設直線PE的解析式為y=kx+b，

則，    解得

∴直線PE的解析式為y=x﹣3.                            ……10分

    （4）、.