Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3a（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），連接BC．
（1）求該拋物線的解析式和對稱軸，并寫出線段BC的中點坐標；
（2）將線段BC先向左平移2個單位長度，在向下平移m個單位長度，使點C的對應點C₁恰好落在該拋物線上，求此時點C₁的坐標和m的值；
（3）若點P是該拋物線上的動點，點Q是該拋物線對稱軸上的動點，當以P，Q，B，C四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求此時點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）把點A（-1，0）和點C（0，2）的坐標代入所給拋物線可得a、b的值，進而得到該拋物線的解析式和對稱軸，再求出點B的坐標，根據(jù)中點坐標公式求出線段BC的中點坐標即可；
（2）根據(jù)平移的性質可知，點C的對應點C₁的橫坐標為-2，再代入拋物線可求點C₁的坐標，進一步得到m的值；
（3）B、C為定點，可分BC為平行四邊形的一邊及對角線兩種情況探討得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3a（a≠0）與x軸交于點A（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），
∴

a-b-3a=0 -3a=2

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3

．
∴拋物線的解析式為y=-

2

3

x²+

4

3

x+2=-

2

3

（x-1）²+2

2

3

，
∴對稱軸是x=1，
∵1+（1+1）=3，
∴B點坐標為（3，0），
∴BC的中點坐標為（1.5，1）；

（2）∵線段BC先向左平移2個單位長度，再向下平移m個單位長度，使點C的對應點C₁恰好落在該拋物線上，
∴點C₁的橫坐標為-2，
當x=-2時，y=-

2

3

×（-2）²+

4

3

×（-2）+2=-

10

3

，
∴點C₁的坐標為（-2，-

10

3

），
m=2-（-

10

3

）=5

1

3

；

（3）①若BC為平行四邊形的一邊，
∵BC的橫坐標的差為3，
∵點Q的橫坐標為1，
∴P的橫坐標為4或-2，
∵P在拋物線上，
∴P的縱坐標為-3

1

3

，
∴P₁（4，-3

1

3

），P₂（-2，-3

1

3

）；
②若BC為平行四邊形的對角線，
則BC與PQ互相平分，
∵點Q的橫坐標為1，BC的中點坐標為（1.5，1），
∴P點的橫坐標為1.5+（1.5-1）=2，
∴P的縱坐標為-

2

3

×2²+

4

3

×2+2=2，
∴P₃（2，2）．
綜上所述，點P的坐標為：P₁（4，-3

1

3

），P₂（-2，-3

1

3

），P₃（2，2）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線的對稱軸，中點坐標公式，平移的性質，平行四邊形的性質，注意分BC為平行四邊形的一邊或為對角線兩種情況進行探討．