Question

【題目】我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

（1）如圖①，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)M，N分別在AD，CD上，且∠MBN=60°，試判斷四邊形DMBN是否為“等鄰邊四邊形”？請(qǐng)說明理由．

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12.5，點(diǎn)E在BC上，且BE=6，在矩形ABCD內(nèi)或邊上，確定一點(diǎn)P，使四邊形ABEP為最大面積的“等鄰邊四邊形”，若能實(shí)現(xiàn)，請(qǐng)求出最大面積；若不能實(shí)現(xiàn)，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）能實(shí)現(xiàn)，最大面積為．理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意連接BD，則有結(jié)論即四邊形DMBN是“等鄰邊四邊形”，只要證明△MBD≌△NBC即可解決問題；

（2）根據(jù)題意分以A為圓心，AB為半徑畫弧，當(dāng)點(diǎn)P在（不包括點(diǎn)I）上時(shí)和以E為圓心，EB為半徑畫弧，當(dāng)點(diǎn)P在（不包括點(diǎn)H和點(diǎn)T）上時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)P在線段AE的垂直平分線上時(shí)三種情況進(jìn)行討論分析求解.

解：（1）結(jié)論：四邊形DMBN是“等鄰邊四邊形“．

理由：如圖，連接BD，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，

∴∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=CD=AD，

∴△ABD，△BCD都是等邊三角形，

∴BD=DC，∠MDB=∠C=60°，

∵∠MBN=∠DBC=60°，

∴∠MBD=∠NBC，

∴△MBD≌△NBC，

∴MB=BN，

∴四邊形DMBN是“等鄰邊四邊形“．

（2）能實(shí)現(xiàn)．

理由：如圖，

以A為圓心，AB為半徑畫弧，

當(dāng)點(diǎn)P在（不包括點(diǎn)I）上時(shí)，四邊形ABEP是“等鄰邊四邊形“，

點(diǎn)P在AD上時(shí)，當(dāng)AB=AP時(shí)，四邊形ABEP的面積的最大值為：;

以E為圓心，EB為半徑畫弧，

當(dāng)點(diǎn)P在（不包括點(diǎn)H和點(diǎn)T）上時(shí)，四邊形ABEP是“等鄰邊四邊形“，

有P′E⊥AE，AE=，P′E=BE=6,四邊形ABEP的面積的最大值為：

，

當(dāng)點(diǎn)P在線段AE的垂直平分線上時(shí)，即AP=PE,易知AP=，

此時(shí)四邊形ABEP是“等鄰邊四邊形“，面積=．

綜上所述，等鄰邊四邊形ABEP的面積的最大值為：．