Question

如圖，A、B為⊙O上兩點，直徑CD平分AB，交AB于E，如圖1．
（1）若AB=8，CE=2，求⊙O的半徑長；
（2）如圖2，P為圓上異于A、B、C、D的一點，連接PA、PB、PC、PD．若∠BAC=15°，求∠APC、∠APD和∠OBE度數(shù)．

Answer 1

考點：垂徑定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接OA，根據(jù)垂徑定理可得出AE的長，設OA=x，則OE=OC-EC=x-2，在Rt△OAE中根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)垂徑定理得出

AC

=

BC

，故可得出∠APC=∠BAC=15°，即

AC

=15°，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得出∠APD的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）連接OA．
∵直徑CD平分AB，
∴CD⊥AB，AE=

1

2

AB=4，
設OA=x，則OE=OC-EC=x-2．
在Rt△OAE中，OE²+AE²=OA²，即（x-2）²+4²=x²，解得x=5，
∴⊙O的半徑長為5．

（2）∵直徑CD平分AB，交AB于E，
∴

AC

=

BC

，
∴∠APC=∠BAC=15°，
∴

AC

=15°，
∴

ABD

=90°+15°=105°，
∵∠APD=105°．
∵∠BAC=15°，
∴∠BOC=30°．
∵CD⊥AB，
∴∠OBE=90°-30°=60°．

點評：本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．