Question

如圖拋物線y=x²+bx+c（c＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，且OB=OC=3，點(diǎn)E為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥x軸于F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)E，使△ECF為直角三角形？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接AC、BC，若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，∠PCB=∠ACO，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）易求得點(diǎn)B，C坐標(biāo)，即可求得b、c的值，即可解題；
（2）易求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求得直線BD的解析式，根據(jù)∠CEF=90°，即可求得點(diǎn)E縱坐標(biāo)為-3，即可解題；
（3）存在2種情況：①∠PCB=∠ACO，②∠P'CB=∠ACO，可分別求得tan∠PCE的值，即可求得直線PC斜率，即可求得直線PC于拋物線交點(diǎn)P坐標(biāo)，即可解題．

解答：解：（1）∵OB=OC=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-3），
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，∴

c=-3 9+3b+c=0

，
解得：c=-3，b=-2，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）∵拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，-4），
∵直線BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D，設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，
則

k+b=-4 3k+b=0

，
解得：k=2，b=-6，
∴直線BD解析式為y=2x-6，
∵△ECF為直角三角形，
∴∠CEF=90°，
∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為-3，
∴點(diǎn)E橫坐標(biāo)為

3

2

，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（

3

2

，-3）；
（3）存在2種情況：

①∠PCB=∠ACO，
∵∠BCE=45°，
∴tan∠BCE=1，
∵tan∠ACO=

1

3

，
∴tan∠PCB=

1

3

，
∴tan∠PCE=tan（∠BCE-∠PCB）=

1- 1 3

1+ 1 3

=

1

2

，
∵直線PC經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，
∴直線PC解析式為：y=

1

2

x-3，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（

5

2

，-

7

4

），
②∠P'CB=∠ACO，
∵∠BCE=45°，
∴tan∠BCE=1，
∵tan∠ACO=

1

3

，
∴tan∠P'CB=

1

3

，
∴tan∠P'CE=tan（∠BCE-∠P'CB）=

1+ 1 3

1- 1 3

=2，
∵直線PC經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，
∴直線PC解析式為：y=2x-3，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（4，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)的求解，考查了二次函數(shù)解析式的求解，考查了直線和拋物線交點(diǎn)的求解，本題中求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．