【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E是邊CD上的點,且CE=4,過點E作CD的垂線,并在垂線上截取EF=3,連接CF.將△CEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為a.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
當a=0°時,AF= ,BE= ,= ;
(2)拓展探究
試判斷:當0°≤a°<360°時,的大小有無變化?請僅就圖2的情況給出證明.
(3)問題解決
當△CEF旋轉(zhuǎn)至A,E,F三點共線時,直接寫出線段BE的長.
【答案】(1)5,4,;(2)的大小無變化,理由見解析;(3)BE=或BE=.
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理分別計算AF和BE的長可解答;
(2)如圖2,連接AC,證明△CEF∽△CBA,得,再證明△ACF∽△BCE,可解答;
(3)當△CEF旋轉(zhuǎn)至A,E,F三點共線時,存在兩種情況:連接AC,先計算AF的長,證明△ACF∽△BCE,列比例式可得BE的長.
(1)當a=0°時,如圖1,過F作FG⊥AD,交AD的延長線于G,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠BCE=90°,AD=BC=8,AB=CD=6,
∵∠G=∠EDG=∠DEF=90°,
∴四邊形DEFG是矩形,
∴DG=EF=3,
∴AG=8+3=11,
∵CE=4,CD=6,
∴FG=DE=6﹣4=2,
Rt△AGF中,由勾股定理得:AF=,
Rt△BEC中,由勾股定理得:BE=,
∴,
故答案為,,;
(2)的大小無變化,理由如下:如圖2,連接AC,
∵AB=6,BC=8,EF=3,CE=4,
∴,,
∴,
∵∠CEF=∠ABC=90°,
∴△CEF∽△CBA,
∴,∠ECF=∠ACB,
∴,
∴∠ACF=∠BCE,
∴△ACF∽△BCE,
∴,即的大小無變化;
(3)當△CEF旋轉(zhuǎn)至A,E,F三點共線時,存在兩種情況:
①如圖3,連接AC,
Rt△ABC中,由勾股定理得:AC==10,
Rt△CEF中,CE=4,EF=3,
∴CF=5,
∴,,
∴,
∵∠FEC=∠ABC,
∴△ABC∽△FEC,
∴∠ACB=∠ECF,
∴∠BCE=∠ACF,
∵,
∴△ACF∽△BCE,
∴,
Rt△AEC中,AE=,
∴AF=AE+EF=+3,
∴BE=;
②如圖4,連接AC,
同理得:△AFC∽△BEC,
∴,
AF=AE﹣EF=﹣3,
∴BE=,
綜上,BE=或BE=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,以AB為直徑作圓交AC、BC于點D、E兩點,AF切⊙O于點A,點D是AC中點.
(1)求證:AB=BC;
(2)若,CF=,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水產(chǎn)基地種植某種食用海藻,從三月一日起的30周內(nèi),它的市場價格與上市時間的關(guān)系用圖①線段表示;它的平均畝產(chǎn)量與時間的關(guān)系用圖②線段表示;它的每畝平均成本與上市時間的關(guān)系用圖③拋物線表示.
(1)寫出圖①、圖②所表示的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若市場價×畝產(chǎn)量-畝平均成本 = 每畝總利潤,問哪一周上市的海藻利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生的每周平均課外閱讀時間,在本校隨機抽取若干名學(xué)生進行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表,請根據(jù)圖表中所給的信息解答下列問題:
組別 | 閱讀時間(單位:小時) | 頻數(shù)(人數(shù)) |
8 | ||
20 | ||
24 | ||
4 |
(1)圖表中的______,______;
(2)扇形統(tǒng)計圖中組所對應(yīng)的圓心角為______度;
(3)該校共有學(xué)生1500名,請估計該校有多少名學(xué)生的每周平均課外閱讀時間不低于3小時?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】黃石市在創(chuàng)建國家級文明衛(wèi)生城市中,綠化檔次不斷提升.某校計劃購進A,B兩種樹木共100棵進行校園綠化升級,經(jīng)市場調(diào)查:購買A種樹木2棵,B種樹木5棵,共需600元;購買A種樹木3棵,B種樹木1棵,共需380元.
(1)求A種,B種樹木每棵各多少元?
(2)因布局需要,購買A種樹木的數(shù)量不少于B種樹木數(shù)量的3倍.學(xué)校與中標公司簽訂的合同中規(guī)定:在市場價格不變的情況下(不考慮其他因素),實際付款總金額按市場價九折優(yōu)惠,請設(shè)計一種購買樹木的方案,使實際所花費用最省,并求出最省的費用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,直線與拋物線交于兩點,其中,.該拋物線與軸交于點,與軸交于另一點.
(1)求的值及該拋物線的解析式;
(2)如圖2.若點為線段上的一動點(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側(cè)作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時點的坐標.
(3)如圖3.連接、,在線段上是否存在點,使得以為頂點的三角形與△相似,若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E為CD的中點,F為BE上的一點,連接CF并延長交AB于點M,MN⊥CM交射線AD于點N.
(1)如圖1,當點F為BE中點時,求證:AM=CE;
(2)如圖2,若=3時,求的值;
(3)若=n(n≥3)時,請直接寫出的值.(用含n的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在菱形中,,點是對角線上一動點,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到,連接,連接并延長,分別交、于點、.
(1)如圖1,若且,求菱形的面積;
(2)如圖2,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,拋物線的頂點坐標A(1,3),與x軸的一個交點B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點,下列結(jié)論:①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根;④拋物線與x軸的另一個交點是(-1,0);⑤當1<x<4時,有y2<y1,其中正確的是()
A.①④⑤B.①③④⑤C.①③⑤D.①②③
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