Question

如圖，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠ABN，過(guò)C的直線分別交AM、BN于D、E．
（1）求證：AC⊥BC；
（2）求證：DC=EC；
（3）求證：AD+BE=AB；
（4）將直線鐃C轉(zhuǎn)動(dòng)，使DE與直線AM交于點(diǎn)D，與直線NB交于點(diǎn)E，畫出不同情況的圖型，探究AB、AD、BE三條線段之間是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及角平分線的性質(zhì)不難得出∠ABC+∠CAB=90°，再由三角形內(nèi)角和等于180°，即可得出∠AEB是直角的結(jié)論；
（2）過(guò)C點(diǎn)作輔助線CF使其平行于AM，由平行線的性質(zhì)可得出各角之間的關(guān)系，進(jìn)一步求出邊之間的關(guān)系；
（3）由CF為梯形ABED中位線可證明．
（4）由（3）中得出的結(jié)論可知CF為梯形ABED的中位線，可知無(wú)論DE的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng)，只要DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AD+BE的值總為一定值．

解答：證明：（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
又∵AC，BC分別為∠MAB、∠NBA的平分線，
∴∠ABC+∠CAB=

1

2

（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠ACB=180°-∠1-∠3=90°，
即∠ACB為直角；
（2）過(guò)E點(diǎn)作輔助線CF使其平行于AM，

∵AM∥BN，CF∥BC，
∴CF∥AD∥BC，
∴∠ACF=∠DAC，∠BCF=∠CBE，
∵∠FAC=∠DAC，∠FBC=∠CBE，
∴∠ACF=∠FAC，∠BCF=∠FBC，
∴AF=FE=FB，
∴F為AB的中點(diǎn)，又EF∥AD∥BC，
根據(jù)平行線等分線段定理得到E為DC中點(diǎn)，
∴DC=EC；
（3）∵CF為梯形ABED中位線，
∴AD+BE=2CF，
∵AF=FE=FB，
∴AD+BE=AB．
（4）由（3）中結(jié)論可知，只要DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
總滿足CF為梯形ABED中位線的條件，
∴AD+BE=2CF=AB．

點(diǎn)評(píng)：本題是計(jì)算與作圖相結(jié)合的探索．對(duì)學(xué)生運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，及梯形中位線等基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力都有較高的要求．