Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿A→D→C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ∥CD？
（2）從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)t取何值時(shí)，△PQC為直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：當(dāng)PQ∥CD時(shí)，四邊形PDCB是平行四邊形，

此時(shí)PD=QC，

∴12﹣2t=t，

∴t=4．

∴當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形．

（2）

過(guò)D點(diǎn)，DF⊥BC于F，

∴DF=AB=8．

FC=BC﹣AD=18﹣12=6，CD=10，

①當(dāng)PQ⊥BC，

則BQ+CQ=18．即：2t+t=18，

∴t=6；

②當(dāng)QP⊥PC，此時(shí)P一定在DC上，

CP1=10+12﹣2t=22﹣2t，CQ2=t，

易知，△CDF∽△CQ2P1，

∴，

解得：t=，

③情形：當(dāng)PC⊥BC時(shí)，因∠DCB＜90°，此種情形不存在．

∴當(dāng)t=6或時(shí)，△PQC是直角三角形．

【解析】（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判斷以PQDC為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
（2）點(diǎn)P處可能為直角，點(diǎn)Q處也可能是直角，而后求解即可．
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的逆定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．