Question

如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是BC延長線上的一點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，AF=CE，連接BF、EF．
（1）若AB=4，點(diǎn)F是AC邊的中點(diǎn)，求BF的長；
（2）若點(diǎn)F是AC邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），求證：BF=EF．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和∠ABC=60°，可得△ABC為等邊三角形，然后點(diǎn)F是AC邊的中點(diǎn)，利用勾股定理可求得BF的長度；
（2）過點(diǎn)F作FG∥BC，交AB于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠BAC=60°可得△AGF為等邊三角形，得出AG=AF=GF，繼而可的GB=FC，GF=CE，然后證明△BGF≌FCE，即可證明BF=EF．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵點(diǎn)F是AC邊的中點(diǎn)，AB=4，
∴AF=2，BF=ABcos60°=2

3

；

（2）過點(diǎn)F作FG∥BC，交AB于點(diǎn)G，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°
又∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△AGF是等邊三角形，
∴AG=AF，
∴BG=CE，
又∵CE=AF，
∴GF=CE，
∵∠BGE=∠ECF=120°，
則在△BGF和△FCE中，

GF=CE ∠BGF=∠FCE BG=FC

，
∴△BGEF≌△FCE（SAS），
∴BF=EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，利用等邊三角形的性質(zhì)找出全等的條件是解題的關(guān)鍵．