Question

如圖，在^△ABC 中，^∠A=90°，AB=AC，O 是 BC 的中點(diǎn)，如果在 AB 和 AC 上分別有一個(gè)動(dòng) 點(diǎn) M、N 在移動(dòng)，且在移動(dòng)時(shí)保持 AN=BM．

（1）請你判斷^△OMN 的形狀，并說明理由． 若 BC=2 ，則 MN 的最小值為    ．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

【分析】（1）連接 OA，只需證^△OAN^≌△OBM 即可迅速得出結(jié)論；

取 NM 中點(diǎn) D，連接 OD、AD，則根據(jù)（1）中結(jié)論可知 MN=OD+AD，而 OD+AD≥OA，即 OA 就 是 MN 的最小值．

【解答】解：（1）^△OMN 是等腰直角三角形． 理由：連接 OA，如圖 1，

^∵在^△ABC 中，^∠A=90°，AB=AC，O 是 BC 的中點(diǎn)，

^∴AO=BO=CO，^∠B=^∠C=45°；

在^△OAN 和 OBM 中，

，

^∴△OAN^≌△OBM（SAS），

^∴ON=OM，^∠AON=^∠BOM；

又^∵∠BOM+^∠AOM=90°，

^∴∠NOM=^∠AON+^∠AOM=90°，

^∴△OMN 是等腰直角三角形；

取 MN 的中點(diǎn) D，連接 OD，AD，如圖 2，

^∵∠MON=^∠NAM=90°，

^∴OD=OA= MN，

^∴MN=OD+AD，

^∵OD+AD≥AO，

^∴MN≥AO，

^∴MN 的最小值為 AO，

^∵BC=2      ，

^∴AO=      ，

^∴MN 的最小值為， 故答案為： ．

【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線 定理、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．“中點(diǎn)”是本題的題眼，在初中階段，與“中點(diǎn)”的幾何知 識(shí)并不多，同學(xué)們可自行總結(jié)一下“中點(diǎn)”有限幾種用法，今后再遇到與“中點(diǎn)”有關(guān)的幾何題目，就會(huì) 反應(yīng)迅速，作出輔助線也就很容易．