Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2，OA和AB的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）求弦AB的長(zhǎng)度；

（2）計(jì)算S△AOB；

（3）⊙O上一動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周，當(dāng)S△POA=S△AOB時(shí)，求P點(diǎn)所經(jīng)過的弧長(zhǎng)（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)B重合的情形）．

Answer 1

【答案】（1）AB=2；（2）S△AOB=；（3）當(dāng)S△POA=S△AOB時(shí)，P點(diǎn)所經(jīng)過的弧長(zhǎng)分別是、、．

【解析】試題分析：（1）OA和AB的長(zhǎng)度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可求出AB的長(zhǎng)度；

（2）作出△AOB的高OC，然后求出OC的長(zhǎng)度即可求出面積；

（3）由題意知：兩三角形有公共的底邊，要面積相等，即高要相等．

試題解析：（1）由題意知：OA和AB的長(zhǎng)度是x2﹣4x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴OA+AB=﹣=4，

∵OA=2，

∴AB=2；

（2）過點(diǎn)C作OC⊥AB于點(diǎn)C，

∵OA=AB=OB=2，∴△AOB是等邊三角形，∴AC=AB=1，

在Rt△ACO中，由勾股定理可得：OC=，∴S△AOB=AB﹒OC=×2×=；

（3）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，由于△AOB與△POA有公共邊OA，

當(dāng)S△POA=S△AOB時(shí)，∴△AOB與△POA高相等，

由（2）可知：等邊△AOB的高為，∴點(diǎn)P到直線OA的距離為，這樣點(diǎn)共有3個(gè)

①過點(diǎn)B作BP1∥OA交⊙O于點(diǎn)P1，∴∠BOP1=60°，

∴此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)為： =，

②作點(diǎn)P2，使得P1與P2關(guān)于直線OA對(duì)稱，∴∠P2OD=60°，

∴此時(shí)點(diǎn)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)為： =，

③作點(diǎn)P3，使得B與P3關(guān)于直線OA對(duì)稱，∴∠P3OP2=60°，

∴此時(shí)P經(jīng)過的弧長(zhǎng)為： =，

綜上所述：當(dāng)S△POA=S△AOB時(shí)，P點(diǎn)所經(jīng)過的弧長(zhǎng)分別是、、．