Question

將兩塊含30°角且大小相同的直角三角板如圖1擺放．

（1）將圖1中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點(diǎn)P₁是A₁C與AB的交點(diǎn)，求證：CP₁=

2

2

AP₁；
（2）將圖2中△A₁B₁C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到△A₂B₂C（如圖3），點(diǎn)P₂是A₂C與AB的交點(diǎn)．線段CP₁與P₁P₂之間存在一個(gè)確定的等量關(guān)系，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式并說(shuō)明理由；
（3）將圖3中線段CP₁繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到CP₃（如圖4），連接P₃P₂，求證：P₃P₂⊥AB．

Answer 1

（1）證明：過(guò)點(diǎn)P₁作CA的垂線，垂足為D．
易知：△CDP₁為等腰直角三角形，
△P₁DA是直角三角形，且∠A=30°，
所以CP₁=

2

P₁D，P₁D=

1

2

AP₁，
故CP₁=

2

2

AP₁．

（2）過(guò)點(diǎn)P₁作CA₂的垂線，垂足為E，
易知：△P₁EP₂是等腰直角三角形，
（其中∠2=∠A+∠P₂CA=45°），
因?yàn)椤鱌₁CE是直角三角形，且∠1=30°，
所以CP₁=2P₁E，P₁E=

2

2

P₁P₂，
故CP₁=

2

P₁P₂．

（3）證明：將圖3中線段CP₁繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到CP₃，
易證：△CP₁P₂≌△CP₃P₂，于是∠CP₃P₂=∠CP₁P₂=105°，
∴∠P₁P₂P₃=360°-105°×2-60°=90°，
故P₂P₃⊥AB．