Question

△ABC是等邊三角形，D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作EF∥BC，交射線AC于點(diǎn)F，連結(jié)BE．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)．①求證：△AEB≌△ADC；②探究四邊形BCFE是怎樣的四邊形？并說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出（1）的兩個(gè)結(jié)論是否依然成立；
（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形BCFE是菱形？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）①由三角形ABC與三角形ADE都為等邊三角形，得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證；
②由①的全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到∠ABE=∠ACD=60°，進(jìn)而得到一對(duì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，確定出EB與FC平行，再由EF與BC平行，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊分別平行的四邊形為平行四邊形即可得證；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）的兩個(gè)結(jié)論依然成立，證明同理；
（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到CD=BC時(shí)，四邊形BCFE是菱形，理由為：由三角形ABE與三角形ACD全等，得到BE=CD，等量代換得到BC=BE，而四邊形BCFE為平行四邊形，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．

解答：解：（1）①證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠EAB=∠CAD，
在△AEB和△ADC中，

AE=AD ∠BAE=∠CAD AB=AD

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
②四邊形BCFE是平行四邊形，
理由：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ACD=∠BAC=∠ABE=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠EBC+∠ACD=180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形；

（2）①△AEB≌△ADC；②四邊形BCFE是平行四邊形均成立；
①證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠EAF=∠BAC-∠EAF，即∠EAB=∠CAD，
在△AEB和△ACD中，

AE=AD ∠BAE=∠CAD AB=AD

，
∴△AEB≌△ACD（SAS）；
②四邊形BCFE是平行四邊形，
理由：由①得△AEB≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB，
又∵∠ADE=∠ADC+∠BDE=60°，
∴∠AEB+∠BDE=60°，
∵BC∥EF，
∴∠BDE=∠DEF，
∴∠AEB+∠DEF=60°，
∴∠BEF+∠F=180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形；

（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到CD=BC時(shí)，四邊形BCFE是菱形，
理由：∵△AEB≌△ADC，
∴CD=BE，
又∵CD=BC，
∴BE=BC，
∵四邊形BCFE是平行四邊形，
∴四邊形BCFE是菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及菱形的判定，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．