Question

【題目】閱讀資料：
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2 ， 所以A，B兩點(diǎn)間的距離為AB= ．
我們知道，圓可以看成到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A （x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離的平方為OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2 ， 當(dāng)⊙O的半徑OA為r時，⊙O的方程可寫為：x2+y2=r2 ．
問題拓展：
如果圓心坐標(biāo)為P （a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為　（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2　 ．
綜合應(yīng)用：
如圖3，⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），A是⊙P上一點(diǎn)，連接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足為D，延長PD交x軸于點(diǎn)B，連接AB．
①證明AB是⊙P的切線；
②是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以點(diǎn)Q為圓心，OQ長為半徑的⊙Q的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：問題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，
∵P（a，b），半徑為r，
∴AP2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ．
故答案為：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；
綜合應(yīng)用：
①∵PO=PA，PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD．

在△POB和△PAB中， ，
∴△POB≌△PAB．
∴∠PAB=∠POB=90°．
∴PA⊥AB．
∵PA是半徑，PA⊥AB于A，
∴AB是⊙P的切線．
②存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q．
當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時，
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=QA=QB．
∴此時點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等．
∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°，
∴∠PBO=30°．
∴在Rt△POB中， ，PB=2PO=12．
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
∵Q是PB中點(diǎn)，P（0，6），B ，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
∵ ，
∴以Q為圓心，OQ為半徑的⊙Q的方程為
【解析】問題拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，則有AP=r，根據(jù)閱讀材料中的兩點(diǎn)之間距離公式即可求出⊙P的方程；
綜合應(yīng)用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，從而可證到△POB≌△PAB，則有∠POB=∠PAB．由⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切線；
②當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易證∠OBP=∠POA=30°．由P點(diǎn)坐標(biāo)可求出OP、OB．過點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，易證△BHQ∽△BOP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出QH、BH，進(jìn)而求出OH，就可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后運(yùn)用問題拓展中的結(jié)論就可解決問題．