【題目】在平面直角坐標系中,點P是第一象限角平分線上的一點,OP=,直角三角板的直角頂點與點P重合,把直角三角板繞點P轉(zhuǎn)動,另兩條直角邊所在直線與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點
(1)求點P的坐標
(2)若點A的坐標為(0,m),點B的坐標為(n,0),試判斷m、n有什么數(shù)量關(guān)系,并說明理由
(3)連接AB,△ABO的面積是否存在最大值,若存在,求出最大值,若不存在,請說明理由
【答案】(1)(1,1);(2)m+n=2;(3)
【解析】
(1)過P點向坐標軸作垂線PE垂直于x軸PF垂直于y軸,然后利用勾股定理;
(2)證明△PBE≌△PFA,然后直接得出m+n的值;
(3)由(2)可知四邊形AOBP的面積是定值,然后根據(jù)四邊形AOBP的面積=△ABO的面積+△ABP的面積可知當△ABP的面積最小時,△ABO的面積能取到最大值.
解:(1)過P點作過P作PE⊥x軸,PF⊥y軸,
∵P是第一象限角平分線上的一點
∴PE=PF ,∠POE=45°,
∴OE=PE
在Rt△PEO中,
則2=2
∴PE=1
∴P點的坐標為(1,1)
(2)由(1)可知PE⊥x軸,PF⊥y軸
∴PE⊥PF,
∴∠APE+∠APF=90°,
又∵∠APE+∠BPE=90°,
∴∠APF=∠BPE,
∵PE=PF,∠PFA=∠PEB=90°,
∴△APF≌△BPE,
∴AF=BF
則AO+OB=AO+OE+EB=AO+OE+FA=2OE=2
∴m+n=2
(3)△ABO的面積存在最大值為.理由如下:
由(2)可知△APF≌△BPE,
∴四邊形AOBP的面積=四邊形OEPF的面積=1,是定值,
又∵四邊形AOBP的面積=△ABO的面積+△ABP的面積,
由(2)可知△ABP是等腰直角三角形,面積=,
∴當AP取最小值為1時,△ABP面積有最小值為,此時△ABO的面積為最大等于.
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【題目】如圖,AB∥CD,以點A為圓心,小于AC的長為半徑畫弧,分別交AB、AC于E、F兩點;再分別以E、F為圓心,大于的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線AP,交CD于點M.若∠CMA=25°,則∠C的度數(shù)為( 。
A.100°B.110°C.120°D.130°
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【題目】一條拋物線的開口大小與方向、對稱軸均與拋物線y=x2相同,并且拋物線經(jīng)過點(1,1).
(1)求拋物線的解析式,并指明其頂點;
(2)所求拋物線如何由拋物線y=x2平移得到?
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【題目】如圖,在半⊙O中,AB是直徑,點D是⊙O上一點,點C是的中點,CE⊥AB于點E,過點D的切線交EC的延長線于點G,連接AD,分別交CE,CB于點P,Q,連接AC,關(guān)于下列結(jié)論:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點P是△ACQ的外心;④AC2=CQCB,其中結(jié)論正確的是____.
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【題目】小明調(diào)查了班級里20位同學本學期購買課外書的花費情況,并將結(jié)果繪制成了如圖的統(tǒng)計圖.在這20位同學中,本學期購買課外書的花費的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( 。
A. 50,50 B. 50,30 C. 80,50 D. 30,50
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【題目】“校園安全”受到全社會的廣泛關(guān)注,東營市某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度,采用隨機抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學生共有_______人,扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角為_______°;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學共有學生900人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計該中學學生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(4)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生和2個男生中隨機抽取2人參加校園安全知識競賽,請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個男生和1個女生的概率.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以點B為圓心,適當長為半徑的畫弧,分別交BA,BC于點M、N;再分別以點M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線BP交AC于點D,則下列說法中不正確的是()
A. BP是∠ABC的平分線B. AD=BDC. D. CD=BD
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【題目】已知m,n(m<n)是關(guān)于x的方程(x–a)(x–b)=2的兩根,若a<b,則下列判斷正確的是
A. a<m<b<n B. m<a<n<b
C. a<m<n<d D. m<a<b<n
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