【題目】如圖1,正方形ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AO上(不與點(diǎn)A,O重合)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)PPEPBPE交邊CD于點(diǎn)E

1)求證:PEPB;

2)如圖2,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,過點(diǎn)EEFAC于點(diǎn)F,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若不變,試求出這個(gè)不變的值;若變化,請(qǐng)說明理由;

3)用等式表示線段PC,PACE之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1)見解析;(2)在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,PF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化.PF的長(zhǎng)為定值;(3.理由見解析.

【解析】

1)做輔助線,構(gòu)建全等三角形,根據(jù)ASA證明即可求解.

2)如圖,連接OB,通過證明,得到PF=OB,則PF為定值是

3)根據(jù)△AMP△PCN是等腰直角三角形,得,,整理可得結(jié)論.

1)證明:如圖,過點(diǎn)PMNAD,交AB于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N

PBPE,

∴∠BPE90°,

∴∠MPB+EPN90°.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD=∠D90°.

ADMN,

∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D90,

∵∠MPB+MBP90°,

∴∠EPN=∠MBP

RtPNC中,∠PCN45°,

∴△PNC是等腰直角三角形,

PNCN,

BMCNPN,

∴△BMP≌△PNEASA),

PBPE

2)解:在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中,PF的長(zhǎng)度不發(fā)生變化.

理由:如圖2,連接OB

∵點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn),

OBAC,

∴∠AOB90°,

∴∠AOB=∠EFP90°,

∴∠OBP+BPO90°.

∴∠BPE90°,

∴∠BPO+OPE90°,

∴∠OBP=∠OPE

由(1)得PBPE

∴△OBP≌△FPEAAS),

PFOB

AB2,△ABO是等腰直角三角形,∴

PF的長(zhǎng)為定值

3)解:

理由:如圖1,∵∠BAC45°,

∴△AMP是等腰直角三角形,

由(1)知PMNE,

∵△PCN是等腰直角三角形,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某校為了慶祝建國(guó)七十周年,決定舉辦一臺(tái)文藝晚會(huì),為了了解學(xué)生最喜愛的節(jié)目形式,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,規(guī)定每人從歌曲,舞蹈,小品,相聲其它五個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列題:

最喜愛的節(jié)目

人數(shù)

歌曲

15

舞蹈

a

小品

12

相聲

10

其它

b

1)在此次調(diào)查中,該校一共調(diào)查了   名學(xué)生;

2a   ;b   

3)在扇形計(jì)圖中,計(jì)算歌曲所在扇形的圓心角的度數(shù);

4)若該校共有1200名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)最喜愛相聲的學(xué)生的人數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中,,以為直徑的于點(diǎn),交于點(diǎn)延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且,連接

1)求證:的切線;

2)若,,求的長(zhǎng).

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【題目】某地為了了解2020年在疫情中上網(wǎng)課的感受,組織教師通過問卷和座談等形式,隨機(jī)抽取某城區(qū)一些初中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查的普遍感受分為四大類:A.提高自律能力;B.戰(zhàn)親子關(guān)系;C.提升信息素養(yǎng);D.教師敬業(yè)辛苦,并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計(jì)圖1和扇形統(tǒng)計(jì)圖2(不完整).請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:

1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了__________名初中學(xué)生;

2)求出圖2中扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù),并將圖1補(bǔ)充完整;

3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該城區(qū)1000名初中學(xué)生中有多少人的感受是教師敬業(yè)辛苦?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD中,ABDC,∠ABC90°,AB4,CD1,BC4.在邊BC上取一點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形相似,甲認(rèn)為這樣的點(diǎn)P只存在1個(gè),乙認(rèn)為這樣的點(diǎn)P存在不止1個(gè),則( 。

A.甲的說法正確B.乙的說法正確

C.甲、乙的說法都正確D.甲、乙的說法都不正確

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1)當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí),求反比例函數(shù)的表達(dá)式

2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,試證明:是一個(gè)定值.

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(1)求證:AC平分∠DAE;

(2)若cosM=,BE=1,①求⊙O的半徑;②求FN的長(zhǎng).

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