【題目】已知ABC是邊長為4的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA6,點(diǎn)D是射線OM上的動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時,將ACD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到BCE,連接DE

1)如圖1,求證:CDE是等邊三角形.

2)設(shè)ODt

①當(dāng)6t10時,BDE的周長是否存在最小值?若存在,求出BDE周長的最小值;若不存在,請說明理由.

②求t為何值時,DEB是直角三角形(直接寫出結(jié)果即可).

【答案】(1)見解析;(2) ①見解析; t=2或14.

【解析】

1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=60°,DC=EC,即可得到結(jié)論;

2)①當(dāng)6t10時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,由垂線段最短得到當(dāng)CDAB時,△BDE的周長最小,于是得到結(jié)論;

②存在,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時,DB,E不能構(gòu)成三角形;當(dāng)0≤t6時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABE=60°,∠BDE60°,求得∠BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEB=60°,求得∠CEB=30°,求得OD=OA-DA=6-4=2=t;當(dāng)6t10時,此時不存在;當(dāng)t10時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE=60°,求得∠BDE60°,于是得到t=14

1)∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,

∴∠DCE60°DCEC,

∴△CDE是等邊三角形;

2)①存在,當(dāng)6t10時,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,BEAD,

CDBEBE+DB+DEAB+DE4+DE,

由(1)知,△CDE是等邊三角形,

DECD,

CDBECD+4,

由垂線段最短可知,當(dāng)CDAB時,△BDE的周長最小,

此時,CD2,

∴△BDE的最小周長=CD+42+4;

②存在,∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時,D,B,E不能構(gòu)成三角形,

∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時,不符合題意;

當(dāng)0≤t6時,由旋轉(zhuǎn)可知,∠ABE60°,∠BDE60°,

∴∠BED90°

由(1)可知,△CDE是等邊三角形,

∴∠DEB60°

∴∠CEB30°,

∵∠CEB=∠CDA

∴∠CDA30°,

∵∠CAB60°

∴∠ACD=∠ADC30°,

DACA4,

ODOADA642,

t2

當(dāng)6t10時,由∠DBE120°90°,

∴此時不存在;

當(dāng)t10時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠DBE60°,

又由(1)知∠CDE60°

∴∠BDE=∠CDE+BDC60°+BDC,

而∠BDC,

∴∠BDE60°

∴只能∠BDE90°,

從而∠BCD30°,

BDBC4,

OD14

t14,

綜上所述:當(dāng)t214時,以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,某小區(qū)規(guī)劃在長20米,寬10米的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路,使其中兩條與AD平行,一條與AB平行,其余部分種草,若使草坪的面積為162米2,問小路應(yīng)為多寬?

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(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離;

(2)一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道,那么這輛貨車能否安全通過?

(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,如果燈離地面的高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米?

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【題目】某校為了調(diào)查八年級學(xué)生參加乒乓籃球、足球、排球四項(xiàng)體育活動的人數(shù),學(xué)校從八年級隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下不完整的統(tǒng)計(jì)表、統(tǒng)計(jì)圖:

類別

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

乒乓

a

0.3

籃球

20

足球

15

b

排球

合計(jì)

c

1

請你根據(jù)以上信息解答下列各題:

1a   ;b   c   ;

2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,排球所對應(yīng)的圓心角是   度;

3)若該校八年級共有600名學(xué)生,試估計(jì)該校八年級喜歡足球的人數(shù)?.

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【題目】“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來有吃“粽子”的習(xí)俗.我市某食品廠為了解市民對去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況,在節(jié)前對某居民區(qū)市民進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(尚不完整).

請根據(jù)以上信息回答:

(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?

(2)將兩幅不完整的圖補(bǔ)充完整;

(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所對圓心角的度數(shù);

(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一個,煮熟后,小王吃了兩個.用列表或畫樹狀圖的方法,求他第二個吃到的恰好是C粽的概率.

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【題目】已知:梯形ABCD中,AD//BCABBC,AD=3AB=6,DFDC分別交射線AB、射線CB于點(diǎn)E、F.

1)當(dāng)點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)時(如圖1),求BC的長;

2)當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上時(如圖2),聯(lián)結(jié)CE,試問:∠DCE的大小是否確定?若確定,請求出∠DCE的正切值;若不確定,則設(shè)AE=x,∠DCE的正切值為y,請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;

3)當(dāng)AEF的面積為3時,求DCE的面積.

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【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4),直線CMx軸(如圖所示).點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱,直線y=x+b(b為常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)B,且與直線CM相交于點(diǎn)D,連接OD.

(1)求b的值和點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)設(shè)點(diǎn)P在x軸的正半軸上,若POD是等腰三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下,如果以PD為半徑的圓P與圓O外切,求圓O的半徑.

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【題目】ABC中,∠ACB45°.點(diǎn)D(與點(diǎn)B、C不重合)為射線BC上一動點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF

1)如果ABAC.如圖①,且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動.試判斷線段CFBD之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

2)如果AB≠AC,如圖②,且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動.(1)中結(jié)論是否成立,為什么?

3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P,設(shè)AC4,BC3,CDx,求線段CP的長.(用含x的式子表示)

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