Question

已知：∠ABC=30°，AB=3cm，點(diǎn)D在射線BC上．
（1）若AD=

5

2

cm，在圖①中作出△ABD；
（2）當(dāng)AD=

 

cm時(shí)，△ABD唯一確定；（寫(xiě)出兩個(gè)符合條件的值）
（3）如圖②，若△ABD與△MNP中，∠ABD=∠MNP=30°，AB=MN=3cm，AD=MP=4cm，求證：△ABD≌△MNP．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),作圖—復(fù)雜作圖

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題,作圖題

分析：（1）先運(yùn)用圓規(guī)以點(diǎn)A為圓心，以2.5cm為半徑作弧，交BC于點(diǎn)D，連接AD，△ABD就是所求作的三角形；
（2）由弧與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相交時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，相切時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，就可以得出一個(gè)交點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)或AD垂直于BC時(shí)AD的值唯一；
（3）作AE⊥BD于E，MF⊥NP于F，先證明△ABE≌△MNF就可以得出AE=MF，BE=NF，就可以得出△AED≌△MFP，就有ED=FP，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)條件作出圖形為如圖①．
以點(diǎn)A為圓心，以2.5cm為半徑作弧，交BC于點(diǎn)D，D′，連接AD，AD′，△ABD和△ABD′就是所求作的三角形；
（2）由題意，得
當(dāng)AD=AB時(shí)，AD與BC只有一個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)AD⊥BC時(shí)，∴∠ADB=90°．
∵∠ABC=30°，
∴AD=

1

2

AB=1.5cm．
故答案為：3cm或1.5cm；
（3）作AE⊥BD于E，MF⊥NP于F，
∴∠AEB=∠MFN=∠AED=∠MFP=90°．
在△ABE和△MNF中，

∠AEB=∠MFN ∠ABD=∠MNP AB=MN

，
∴△ABE≌△MNF（AAS），
∴AE=MF，BE=NF．
在Rt△AED≌Rt△MFP中，

AD=MP AE=MF

，
∴Rt△AED≌Rt△MFP（HL），
∴ED=FP，
∴ED+BE=FP+NF，
∴BD=NP．
在△ABD和△MNP中

AB=MN AD=MP BD=NP

，
∴△ABD≌△MNP（SSS）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本作圖的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．