Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+4x+5與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)C.

(1)求直線AC解析式；

(2)過點(diǎn)A作AD平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)F為拋物線上的一點(diǎn)(點(diǎn)F在AD上方)，作EF平行于y軸交AC于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形AFDE的面積最大時(shí)？求點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出最大面積；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P先從(2)中的點(diǎn)F出發(fā)沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到拋物線對(duì)稱軸上點(diǎn)M處，再沿垂直于y軸的方向運(yùn)動(dòng)到y軸上的點(diǎn)N處，然后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求最短路徑長.

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x+5；(2)點(diǎn)F(，)；四邊形AFDE的面積的最大值為；(3)點(diǎn)N(0，)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短距離＝2+.

【解析】

(1)先求出點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求解析式；

(2)先求出點(diǎn)D坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)F(x，﹣x2+4x+5)，則點(diǎn)E坐標(biāo)為(x，﹣x+5)，即可求EF＝﹣x2+5x，可求四邊形AFDE的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；

(3)由動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，則當(dāng)點(diǎn)G，點(diǎn)M，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最小，由兩點(diǎn)距離公式可求解.

解：(1)∵拋物線y＝﹣x2+4x+5與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)C.

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，則點(diǎn)A(0，5)

當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x2+4x+5，

∴x1＝5，x2＝﹣1，

∴點(diǎn)B(﹣1，0)，點(diǎn) C(5，0)

設(shè)直線AC解析式為：y＝kx+b，

∴

解得：

∴直線AC解析式為：y＝﹣x+5，

(2)∵過點(diǎn)A作AD平行于x軸，

∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為5，

∴5＝﹣x2+4x+5，

∴x1＝0，x2＝4，

∴點(diǎn)D(4，5)，

∴AD＝4

設(shè)點(diǎn)F(x，﹣x2+4x+5)，則點(diǎn)E坐標(biāo)為(x，﹣x+5)

∴EF＝﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)＝﹣x2+5x，

∵四邊形AFDE的面積＝AD×EF＝2EF＝﹣2x2+10x＝﹣2(x﹣)2+

∴當(dāng)x＝時(shí)，四邊形AFDE的面積的最大值為，

∴點(diǎn)F(，)；

(3)∵拋物線y＝﹣x2+4x+5＝﹣(x﹣2)2+9，

∴對(duì)稱軸為x＝2，

∴MN＝2，

如圖，將點(diǎn)C向右平移2個(gè)單位到點(diǎn)H(7，0)，過點(diǎn)F作對(duì)稱軸x＝2的對(duì)稱點(diǎn)G(，)，連接GH，交直線x＝2于點(diǎn)M，

∵MN∥CH，MN＝CH＝2，

∴四邊形MNCH是平行四邊形，

∴NC＝MH，

∵動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，

∴當(dāng)點(diǎn)G，點(diǎn)M，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最小，

∴動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短距離＝2+＝2+，

設(shè)直線GH解析式為：y＝mx+n，

∴，

解得，

∴直線GH解析式為：y＝﹣x+，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，

∴點(diǎn)N(0，).