【題目】如圖1,拋物線y=ax2+(a+2)x+2(a≠0)與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點P(m,0)(0<m<4),過點Px軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點M.

(1)求a的值;

(2)若PN:MN=1:3,求m的值;

(3)如圖2,在(2)的條件下,設(shè)動點P對應(yīng)的位置是P1,將線段OP1繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OP2,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接AP2、BP2,求AP2+ BP2的最小值.

【答案】(1) (2) 3 (3)

【解析】分析:(1)把A點坐標(biāo)代入可得到關(guān)于a的方程,可求得a的值;

(2)由OAB∽△PAN可用m表示出PN,且可表示出PM,由條件可得到關(guān)于m的方程,則可求得m的值;

(3)在y軸上取一點Q,使,可證得P2OB∽△QOP2,則可求得Q點坐標(biāo),則可把AP2+BP2化為AP2+QP2,利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)A、P2、Q三點在一條線上時有最小值,則可求得答案.

詳解:(1)A(4,0)在拋物線上,

0=16a+4(a+2)+2,解得a=-

(2)由(1)可知拋物線解析式為y=-x2+x+2,令x=0可得y=2,

OB=2,

OP=m,

AP=4-m,

PMx軸,

∴△OAB∽△PAN,

,即

PN=(4-m),

M在拋物線上,

PM=-m2+m+2,

PN:MN=1:3,

PN:PM=1:4,

-m2+m+2=4×(4-m),

解得m=3m=4(舍去);

(3)在y軸上取一點Q,使,如圖,

由(2)可知P1(3,0),且OB=2,

,且∠P2OB=QOP2,

∴△P2OB∽△QOP2,

,

∴當(dāng)Q(0,)時QP2=BP2

AP2+BP2=AP2+QP2≥AQ,

∴當(dāng)A、P2、Q三點在一條線上時,AP2+QP2有最小值,

A(4,0),Q(0,),

AQ=,即AP2+BP2的最小值為

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方案一:整套房的單價為5000/,其中廚房可免費(fèi)贈送一半的面積;

方案二:整套房按原銷售總金額的9.5折出售.

1)用含x的代數(shù)式表示該戶型商品房的面積及方案一、方案二中購買一套該戶型商品房的總金額;

2)當(dāng)x=2時,通過計算說明哪種方案更優(yōu)惠?優(yōu)惠多少元?

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