Question

【題目】已知，與兩個角的角平分線相交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若，求的度數(shù)．

（2）如圖2，若，，試寫出與之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

（3）若，，，請直接用含有，的代數(shù)式表示出．

Answer 1

【答案】（1）140°；（2）∠BMD=（360°-∠E），證明見解析； （3）∠BMD=

【解析】

（1）過F點(diǎn)作FH∥AB，過E點(diǎn)作EG∥AB，根據(jù)平行線的傳遞性及平行線的性質(zhì)可得∠ABE＋∠CDE＝360°－∠BED，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，再根據(jù)角平分線的定義求解即可；

（2）過M點(diǎn)作MN∥AB，同一可得∠BMD＝∠ABM＋∠CDM，由（1）可得∠ABF＋∠CDF與∠BED的關(guān)系，再根據(jù)∠ABM =∠ABF，∠CDM=∠CDF即可求解；

（3）根據(jù)（2）中的過程進(jìn)行推論，總結(jié)規(guī)律即可．

（１）過F點(diǎn)作FH∥AB，過E點(diǎn)作EG∥AB，如圖：

∵

∴FH∥CD，EG∥CD

∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，∠ABF=∠BFH，∠HFD=∠FDC

∴∠ABE+∠BED+∠EDC=∠ABE+∠BEG+∠GED+∠EDC=360°，∠BFD=∠BFH+∠HFD=∠ABF+∠FDC

∴∠ABE+∠EDC =360°-∠BED

∵與兩個角的角平分線相交于點(diǎn)．

∴∠ABF+∠FDC=（∠ABE+∠EDC）=（360°-∠BED）

∵∠BED=80°

∴∠BFD=∠ABF+∠FDC==140°

（2）∠BMD=（360°-∠E），證明：

過M點(diǎn)作MN∥AB，如圖：

∵

∴MN∥CD，

∴∠ABM=∠BMN，∠NMD=∠MDC

∴∠BMD=∠BMN+∠NMD=∠ABM+∠MDC

由（1）得：∠ABF+∠FDC=（∠ABE+∠EDC）=（360°-∠E）

∵∠ABM =∠ABF，∠CDM=∠CDF

∴∠BMD=∠ABM+∠MDC=（∠ABF+∠FDC）=（360°-∠E）

（3）由（2）得：∠BMD=∠ABM+∠MDC，由（1）得：∠ABF+∠FDC=（360°-∠BED）

∵，

∴∠BMD=∠ABM+∠MDC=（∠ABF+∠FDC）=（360°-∠BED）=