Question

△ABC的內切圓分別切BC、CA、AB三邊于D、E、F，G是EF上的一點，且DG⊥EF，求證：DG平分∠BGC．

Answer 1

證明：連接DF、DE，設N、K分別是DF、DE的中點，連接BN、CK，OF，OD．則：
∵△ABC的內切圓分別切BC、CA、AB三邊于D、E、F，
∴BF=BD，CD=CE，
∴BN⊥DF，CK⊥DE，∠FBN=∠FBD，
∵∠DOF=2∠E，∠DOF+∠FBD=180°，∠GDE+∠E=90°，
∴∠FBN=∠EDG，
∵DG⊥EG，
∴∠BNF=∠DGE=90°，
∴Rt△BFN∽Rt△DEG，
同理：Rt△CEK∽Rt△DFG，
∴BF•GE=DF•DE=CE•FG
∴，而∠BFG=∠CEG
∴△BFG∽△CEG，于是∠BGF=∠CGE．
∵DG⊥EF，∴∠BGD=∠CGD．
即DG平分∠BGC．
分析：連接DF、DE，設N、K分別是DF、DE的中點，連接BN、CK．則Rt△BFN∽Rt△DEG，Rt△CEK∽Rt△DFG，從而證得，于是△BFG∽△CEG，所以∠BGD=∠CGD．即DG平分∠BGC．
點評：本題考查了三角形的內切圓和相似三角形的判定和性質．