【題目】如圖,等腰三角形△ABC的腰長AB=AC=25,BC=40,動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)沿BC向C運(yùn)動(dòng),速度為10單位/秒.動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CA向A運(yùn)動(dòng),速度為5單位/秒,當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)候兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn),連接P′P和P′Q,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)若當(dāng)t的值為m時(shí),PP′恰好經(jīng)過點(diǎn)A,求m的值.
(2)設(shè)△P′PQ的面積為y,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式(m<t≤4)
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使PQ平分角∠P′PC?存在,求相應(yīng)的t值,不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:如圖1中,作AM⊥BC于M.

∵AB=AC=25,AM⊥BC,

∴BM=MC=20,

在Rt△ABM中,AM= = =15,

當(dāng)PP′恰好經(jīng)過點(diǎn)A,∵cos∠C= =

= ,

∴t=

∴m= s


(2)解:如圖2中,設(shè)PP′交AC于N.

當(dāng) <t≤4時(shí),由△PCN∽△ACM,可得PC=40﹣10t,PN=P′N=24﹣6t,CN=32﹣8t,

∵CQ=5t,

∴NQ=CN﹣CQ=32﹣13t,

∴y= PP′NQ= (48﹣12t)(32﹣13t)=78t2﹣504t+768( <t≤4)


(3)解:存在.理由如下:

如圖3中,作QE⊥BC于E.

∵PQ平分∠CPP′,QE⊥PC,QN⊥PP′,

∴QN=QE,

∵sin∠C= = ,

∴t=2,

∴t=2時(shí),PQ平分角∠P′PC


【解析】(1)由∠C的余弦定義既在Rt△APC,又可在Rt△ACM中列出比例式,二者相等,構(gòu)建方程,求出m;(2)由△PCN∽△ACM,可表示出PC=40﹣10t,PN=P′N=24﹣6t,CN=32﹣8t,代入面積公式,即可得y= PP′NQ=78t2﹣504t+768;(3)利用∠C的正弦有兩種表示的比例式,二者相等,可列出方程,求出t.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方;銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】甲、乙兩名隊(duì)員參加射擊訓(xùn)練,成績分別被制成下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖:

根據(jù)以上信息,整理分析數(shù)據(jù)如下:

平均成績/環(huán)

中位數(shù)/環(huán)

眾數(shù)/環(huán)

方差

7

7

1.2

7

8

4.2

1)寫出表格中的值;

2)從方差的角度看,若選派其中一名參賽,你認(rèn)為應(yīng)選哪名隊(duì)員?并說明理.

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【題目】大于的正整數(shù)的三次冪可“裂變”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和,如,.若“裂變”后,其中有一個(gè)奇數(shù)是,則的值是(

A.B.C.D.

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【題目】為了提高學(xué)生漢字書寫的能力,增強(qiáng)保護(hù)漢字的意識(shí),某校舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”,學(xué)生經(jīng)選拔后進(jìn)入決賽,測試方法是:聽寫100個(gè)漢字,每正確聽寫出一個(gè)漢字得1分,本次決賽,學(xué)生成績?yōu)閤(分),且50≤x<100,將其按分?jǐn)?shù)段分為五組,繪制出以下不完整表格:

組別

成績x(分)

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

50≤x<60

2

0.04

60≤x<70

10

0.2

70≤x<80

14

b

80≤x<90

a

0.32

90≤x<100

8

0.16

請(qǐng)根據(jù)表格提供的信息,解答以下問題:

(1)直接寫出表中a= , b=;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全右面相應(yīng)的頻數(shù)分布直方圖;
(3)若決賽成績不低于80分為優(yōu)秀,則本次大賽的優(yōu)秀率為
(4)請(qǐng)根據(jù)得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),簡要分析這些同學(xué)的漢字書寫能力,并為提高同學(xué)們的書寫漢字能力提一條建議(所提建議不超過20字)

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如圖1中,分別平分,且相交于點(diǎn)勤奮小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn):.證明過程如下:

證明:如圖2,連接并延長,

(依據(jù)1)

分別平分

(依據(jù)2)

依據(jù)1 ___,依據(jù)2 __

如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上,作的角平分線交于點(diǎn)試探究之間的數(shù)量關(guān)系.

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1)請(qǐng)直接寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù):①______,②_________;

2)已知關(guān)于的二次函數(shù),若為“同簇二次函數(shù)”,求函數(shù)的表達(dá)式,并求出當(dāng)時(shí),的最小值.

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(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△AMB的面積為S.
求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn),判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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【題目】某市為了建設(shè)國家級(jí)衛(wèi)生城市.市政部門決定搭配A、B兩種園藝造型共50個(gè)擺放在市區(qū),現(xiàn)有3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉可供使用,已知搭配一個(gè)A種造型需甲種花卉80盆,乙種花卉40盆,搭配一個(gè)B種造型需甲種花卉50盆,乙種花卉90.

1)問符合題意的搭配方案有幾種?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來.

2)若搭配一個(gè)A種造型的費(fèi)用是800元,搭配一個(gè)B種造型的費(fèi)用是960元,試說明(1)中哪種方案費(fèi)用最低?最低費(fèi)用是多少元?

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