Question

【題目】（1）如圖1，Rt△ABM和Rt△ADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD，其中AM＝AN，線段MN與線段AD相交于點(diǎn)T，若AD＝3AT，則tan∠ABM＝　 ；

（2）如圖2，在菱形ABCD中，CD＝6，∠ADC＝60°，菱形形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足S△PAB＝S菱形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為　 ．

Answer 1

【答案】（1）tan∠ABM＝；（2）PA+PB的最小值為2．

【解析】

(1)先利用HL證明Rt△ABM≌Rt△AND，再證明△DNT∽△AMT，可得＝，由AD＝3AT，推出＝，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝＝；

(2) 首先由S△PAB＝S菱形ABCD，，得出動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接AA′，連接BA′，則BA′的長(zhǎng)就是所求的最短距離．然后在直角三角形ABA′中，由勾股定理求得BA′的值，即PA＋PB的最小值.

（1）∵AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°，

∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．

∴∠DAN＝∠BAM，DN＝BM，

∵∠BAM+∠DAM＝90°；∠DAN+∠ADN＝90°，

∴∠DAM＝∠ADN，

∴ND∥AM，

∴△DNT∽△AMT，

∴＝，

∵AT＝AD，

∴＝，

在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝＝；

故答案為：；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝CD＝6，

連接AC，BD交于O，

∴AC⊥BD，

∵∠ADC＝60°，

∴∠CDO＝30°，

∴DO＝3，OC＝3，

∴BD＝6，AC＝6，

∴S菱形ABCD＝×6×6＝18；

設(shè)△ABP中AB邊上的高是h，

∵S△PAB＝S菱形ABCD，

∴ABh＝×18＝6，

∴h＝2，

∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接AA′，連接BA′，則BA′的長(zhǎng)就是所求的最短距離．

在Rt△ABE中，∵AB＝6，AA′＝4，

∴BA′＝＝2，

即PA+PB的最小值為2．

故答案為：2．