Question

【題目】如圖，矩形 中，點 ，點 分別在 軸， 軸上， 為邊 上的一動點，現(xiàn)把 沿 對折， 點落在點 處．已知點 的坐標為 ．

(1) 當 點坐標為 時，求 點的坐標；

(2) 在點 沿 從點 運動至點 的過程中，設(shè)點 經(jīng)過的路徑長度為 ，求 的值；

(3) 在點 沿 從點 運動至點 的過程中，若點 落在同一條直線 上的次數(shù)為 次，請直接寫出 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點 的坐標為 ；（2）；(3) ．

【解析】試題分析:(1)依據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)點D的坐標結(jié)合矩形的性質(zhì)得出四邊形OCDP是正方形,由此可得P點坐標,(2)由OP的長度為定值,可知點P的運動軌跡為以2為半徑的圓弧,結(jié)合點B的坐標借助于特殊角的三角函數(shù)值得出∠COP=120°,再套用弧長公式即可得出結(jié)論,(3)取點E(0,4),過點E作圓O(弧CP段)的切線EP’,連接PP’,找出點P,P’的坐標,利用待定系數(shù)法求出k的值,再結(jié)合圖形即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)如圖1,當D點坐標為（2,2）時,CD=2,因為OC=2,且四邊形OABC為矩形,四邊形OCDP是正方形,所以OP=2,所以點P的坐標為(2,0),

(2)如圖2,因為在運動過程中,OP=OC始終成立,所以OP=2為定長,所以點P在以點O為圓心,以2為半徑的圓上,因為點B的坐標為(,2),所以tan∠COB=,

所以∠COB=60°,∠COP=120°,所以弧長=,

(3)在圖2的基礎(chǔ)上,取點E(0,4),過點E作圓O(弧CP段)的切線EP’,切點為P’,連接PP’,因為OE=4,OP’=2,所以sin∠OEP’=,所以∠OEP’=30°,所以∠EOP’=60°,

因為∠COP=120°,所以∠POP’=60°,因為OP=OP’,所以三角形OPP’為等邊三角形,

因為OP=2,所以P(),P’(),

當點P在直線y=kx+4上時,有-1=,所以k=,

當點P’在y=kx+4上時,有1=,所以k=,

綜合可得:若點P落在同一條直線y=kx+4上的次數(shù)為2次,則k的取值范圍為: .