Question

如圖，拋物線y=-x²-4x+5交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P在第二象限的拋物線上，PF⊥x軸于F點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)．若S_△PAE：S_△AEF=2：3，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：計(jì)算題

分析：先求出C（0，5），A（-5，0），B（1，0），則可判斷△OAC為等腰直角三角形，利用PF⊥x軸，也可判斷△AEF為等腰直角三角形，所以EF=AF，設(shè)P（x，-x²-4x+5）（-5＜x＜0），則AF=x+5，所以EF=x+5，再表示出PE=-x²-5x，根據(jù)三角形面積公式得到PE：EF=2：3，即（-x²-5x）：（x+5）=2：3，然后整理解方程得到x₁=-

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，x₂=-5（舍去），再計(jì)算出x=-

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時(shí)的函數(shù)值即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²-4x+5=5，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），
當(dāng)y=0時(shí)，-x²-4x+5=0，解得x₁=-5，x₂=1，則A（-5，0），B（1，0），
∵OA=OC，
∴△OAC為等腰直角三角形，
∵PF⊥x軸，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴EF=AF，
設(shè)P（x，-x²-4x+5）（-5＜x＜0），則AF=x+5，
∴EF=x+5，
∴PE=-x²-4x+5-（x+5）=-x²-5x，
∵S_△PAE：S_△AEF=2：3，
∴PE：EF=2：3，
即（-x²-5x）：（x+5）=2：3，
整理得3x²+17x+10=0，解得x₁=-

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，x₂=-5（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

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，

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）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．