Question

定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形是“等對(duì)角四邊形”，，，．求，的度數(shù)．

（2）在探究“等對(duì)角四邊形”性質(zhì)時(shí)：

① 小紅畫了一個(gè)“等對(duì)角四邊形”（如圖2），其中，，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)成立．請(qǐng)你證明此結(jié)論．

② 由此小紅猜想：“對(duì)于任意‘等對(duì)角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時(shí)，另一組鄰邊也相等”．你認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例．

（3）已知：在“等對(duì)角四邊形”中，，，，．求對(duì)角線的長．

Answer 1

（1）130°，80°，（2）①證明見解析；②畫圖見解析；（3）．

【解析】（1）如圖1，∵等對(duì)角四邊形ABCD，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，

∴∠C=360°-70°-80°-80°=130°；

 

（2）①如圖2，連接BD，

∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，

∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，

②不正確，反例：如圖3，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD，

（3）（Ⅰ）如圖4，當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，延長AD，BC相交于點(diǎn)E，

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10，∴DE=AE-AD=10-4=6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC=

（Ⅱ）如圖5，當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵DE⊥AB，∠DAB=60°AD=4，∴AE=2，DE=2，∴BE=AB-AE=5-2=3，∵四邊形BFDE是矩形，∴DF=BE=3，BF=DE=2，∵∠BCD=60°，∴CF=，∴BC=CF+BF=+2=3，∴

AC=．