Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A,點(diǎn)C，點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng).

(1)連接AC、BC，求證：△ABC是等邊三角形；

(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo),使∠APO=；

(3)在平面內(nèi),平移直線BC,試探索:當(dāng)BC在不同位置時(shí),使∠APO=的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是否保持不變?若不變,指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有幾個(gè)?若改變,指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）（0，），（1，）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）如圖（見(jiàn)解析），根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)求出AB、AC、BC的長(zhǎng)，即可得證；

（2）由題（1）的結(jié)論可知，，因此當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，符合條件；如圖（見(jiàn)解析），取BC的中點(diǎn)，連接，由等邊三角形性質(zhì)可得，則，故點(diǎn)也符合條件，最后根據(jù)為BC邊上的中點(diǎn)即可求得其坐標(biāo)；

（3）因?yàn)橐?/span>AO為弦畫(huà)圓，AO所對(duì)的圓心角等于，則根據(jù)圓周角定理得，直線BC與圓的交點(diǎn)P即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，又因這樣的圓共有2個(gè)：如圖（見(jiàn)解析），逐一分析直線BC與兩圓的位置關(guān)系即可得.

（1）根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可得：

在中，

在中，

則

故是等邊三角形；

（2）是等邊三角形

則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，符合條件，此時(shí)P的坐標(biāo)為；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合時(shí)，取BC的中點(diǎn)，連接

由等邊三角形的性質(zhì)得：

，故點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)

又

是等邊三角形

過(guò)作

（是的中位線）

則點(diǎn)的坐標(biāo)是

綜上，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為，；

（3）當(dāng)BC在不同位置時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)會(huì)發(fā)生改變，使得的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況共有4種：1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，理由如下：

如圖，以AO為弦畫(huà)圓，AO所對(duì)的圓心角等于的圓共有2個(gè)，記作圓Q和圓，顯然點(diǎn)Q和點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

因?yàn)橹本�BC與圓Q和圓的公共點(diǎn)P都滿(mǎn)足

所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況如下：

①有1個(gè)：直線BC與圓Q（或圓）相切

②有2個(gè)：直線BC與圓Q（或圓）相交

③有3個(gè)：直線BC與圓Q（或圓）相切，同時(shí)與圓（或圓Q）相交；直線BC經(jīng)過(guò)圓Q與圓的一個(gè)交點(diǎn)，同時(shí)與兩圓相交

④有4個(gè)：直線BC與圓Q，圓都相交，且不經(jīng)過(guò)兩圓的交點(diǎn).