Question

【題目】（1）問題探究

①如圖1,在直角中,,點是邊上一點,連接,則的最小值為_________.

②如圖2,在等腰直角中, ,若,求邊的長度（用含的代數(shù)式表示）；

（2）問題解決

③如圖3,在等腰直角中,,點是邊的中點,若點是邊上一點,試求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）

【解析】

（1）①如圖1中，作BE⊥AC于E．解直角三角形求出BE，根據(jù)垂線段最短即可解決問題．
②利用勾股定理即可解決問題．
（2）如圖3中，作AH⊥AC，PE⊥AH于E，DF⊥AH于F交AB于T．因為DP+PA=DP+PE，根據(jù)垂線線段最短可知，當點E與F重合時，PD+PA的值最小，最小值為DF的長．

（1）①如圖1中，作BE⊥AC于E．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，
∴AB==4，
∵S△ABC=ACBE=ABBC，
∴BE==，
根據(jù)垂線段最短可知當BP與BE重合時，PB的值最小，最小值為，
故答案為．
②如圖2中，

∵∠B=90°，AB=BC，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB2=a2，
∴AB=a或-a（舍棄），
∴AB=a．
（2）如圖3中，作AH⊥AC，PE⊥AH于E，DF⊥AH于F交AB于T．

∵△ABC是等腰直角三角形，AC=2，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠C=45°，
∵BD=CD=1，
∵DF⊥AH，AC⊥AH，
∴DF∥AC，
∴∠BTD=∠BAC=45°，∠BDT=∠C=45°，
∴∠BTD=∠BDT，
∴BT=BD=AT=1，DT=，
∵AH⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠HAC=90°，∠HAT=45°，
∴AF=TF=，
∴PE=PA，
∴DP+PA=DP+PE，
根據(jù)垂線線段最短可知，當點E與F重合時，PD+PA的值最小，最小值為DF的長=+=．