Question

【題目】如圖1，已知拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

　　　

（1）求，的值；

（2）點(diǎn)是第一象限拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)．當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為，已知直線(xiàn)與二次函數(shù)圖象相交于，兩點(diǎn)．求證：無(wú)論為何值，△恒為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)，，；（3）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）將點(diǎn)代入解析式中即可求出結(jié)論；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類(lèi)討論，然后根據(jù)三線(xiàn)合一、等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程即可求出結(jié)論；

（3）將二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式聯(lián)立，整理得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得則， ，，然后利用平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式和勾股定理的逆定理即可證出結(jié)論．

解：（1）將點(diǎn)代入，

得，

解得，

∴；

（2）設(shè)直線(xiàn)的解析式為，

將點(diǎn)代入，

得，，

∴直線(xiàn)的解析式為，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn) ，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

解得，（舍去），，

∴；

②當(dāng)時(shí)，

，

解得

∴

③當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)M重合

，

解得

∴

綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)，，；

（3）將二次函數(shù)與直線(xiàn)的表達(dá)式聯(lián)立并整理得：，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，

則 ，

同理：，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)，

∴

即：為直角三角形．