Question

已知a、b、c是△ABC的三邊長，關于x的方程（b+c）x²+2ax+（c-b）=0有兩個相等的實數根，且a、b是方程x²-12x+6=0的兩個根，求△ABC中最長邊上的高．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數的關系

專題：

分析：先根據方程有兩個相等的實數根判斷出△ABC是以c為斜邊的直角三角形，則所求最長邊上的高即為斜邊上的高．再根據根與系數的關系及完全平方公式求出c的值，然后根據直角三角形的面積公式即可解答．

解答：解：∵關于x的方程（b+c）x²+2ax+（c-b）=0有兩個相等的實數根，
∴△=4a²-4（b+c）（c-b）=0，即4（a²+b²-c²）=0，即a²+b²=c²，
∴此三角形是以c為斜邊的直角三角形．
∵a、b是方程x²-12x+6=0的兩個根，
∴a+b=12，ab=6，
∴c²=a²+b²=（a+b）²-2ab=144-12=132，
∴c=2

33

．
設△ABC中斜邊上的高為h．
∵S_△ABC=

1

2

ch=

1

2

ab，
∴h=

ab

c

=

6

2 33

=

33

11

．

點評：本題考查的是勾股定理的逆定理、根的判別式、根與系數的關系、完全平方公式及三角形的面積公式，熟知以上知識是解答此題的關鍵．