Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）證明：無論k取何值時，這個方程總有實數(shù)根，并且有有理根．
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=1，另兩邊b，c是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)方程表示出根的判別式，利用完全平方公式變形后，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)確定出根的判別式大于等于0，且為完全平方式，即可得證；
（2）分a為腰與a為底兩種情況，求出方程的解確定出b與c，即可求出周長．

解答：解：（1）方程x²-（k+2）x+2k=0，
∵△=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∴無論k取何值時，這個方程總有實數(shù)根，并且有有理根；
（2）若a=1是腰，則x=1為已知方程的解，
將x=1代入方程得：k=1，即方程為x²-3x+2=0，
解得：x=1或x=2，
此時三角形三邊為1，1，2，不合題意，舍去；
若a=1是底時，b=c為腰，即k=2，方程為x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
此時b=c=2，即三角形三邊長為1，2，2，周長為1+2+2=5．

點評：此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵．