Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD的延長線于E，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE交CD于點(diǎn)F．
（1）若AE=5，求EF；
（2）求證：CD=2BE+DE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）證出B、E、A、C四點(diǎn)共圓，推出∠AEF=∠ABC=45°，求出∠AFE=45°=∠AEF，推出AE=AF即可；
（2）過A作AM⊥EF于M，求出AM=MF，AD=BD，∠BED=∠AMD=90°，證△AMD≌△BED（AAS），推出BE=AM=MF，DE=DM，證△EAB≌△FAC，推出BE=CF，即可得出答案．

解答：（1）解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠BAC=90°，
∴B、E、A、C四點(diǎn)共圓，
∴∠ABE=∠ACF，∠AEF=∠ABC=45°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠AFE=45°=∠AEF，
∴AE=AF，
∵AE=5，
∴AF=5，
由勾股定理得：EF=

52+52

=5

2

；

（2）證明：過A作AM⊥EF于M，
∵∠EAF=90°，AE=AF，
∴∠MAF=

1

2

∠EAF=45°=∠AFM，
∴AM=MF，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∵BE⊥CD，AM⊥CD，
∴∠BED=∠AMD=90°，
在△AMD和△BED中，

∠AMD=∠BED ∠ADM=∠BDE AD=BD

∴△AMD≌△BED（AAS），
∴BE=AM=MF，DE=DM，
∵∠EAF=∠CAD=90°，
∴∠EAB=∠FAC=90°-∠DAF，
在△EAB和△FAC中，

AE=AF ∠EAB=∠FAC AB=AC

∴△EAB≌△FAC（SAS），
∴BE=CF，
∴CD=CF+MF+DM=2BE+DE．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)接四邊形的條件，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．