Question

在一次數(shù)學(xué)課上，李老師出示一道題目：

如圖，在△ABC中，AC=BC，AD=BD，∠A=30°，在線段AB上求作兩點(diǎn)P，Q，使AP=CP=CQ=BQ．

明明作法：分別作∠ACD和∠BCD的平分線，交AB于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)P，Q就是所求作的點(diǎn)．

曉曉作法：分別作AC和BC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)P，Q就是所求作的點(diǎn)．

你認(rèn)為明明和曉曉作法正確的是（　�。�

A．明明 B．曉曉  C．兩人都正確     D．兩人都錯誤

　

Answer 1

C【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠A=30°，CD⊥AB，由三角形的內(nèi)角和得到∠ACD=∠BCD=60°，

明明作法：如圖1，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACP=∠BCQ=30°，求得∠A=∠ACP，∠B=∠BCQ，由等腰三角形的判定得到AP=PC，BQ=CQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BQ，于是得到AP=CP=CQ=BQ；故明明作法正確；

曉曉作法：如圖2，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP=PC，BQ=CQ，推出△APC≌△BCQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BQ，求得AP=CP=CQ=BQ，于是得到曉曉作法正確．

【解答】解：∵AC=BC，AD=BD，

∴∠B=∠A=30°，CD⊥AB，

∴∠ACD=∠BCD=60°，

明明作法：如圖1，

∵CP平分∠ACD，CQ平分∠BCD，

∴∠ACP=∠BCQ=30°，

∴∠A=∠ACP，∠B=∠BCQ，

∴AP=PC，BQ=CQ，

在△ACP與△BCQ中，，

∴△APC≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∴AP=CP=CQ=BQ；

∴明明作法正確；

曉曉作法：如圖2，

∵分別作AC和BC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)P，Q，

∴AP=PC，BQ=CQ，在△ACP與△BCQ中，，

∴△APC≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∴AP=CP=CQ=BQ，

∴曉曉作法正確，

故選C．

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．