Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分別為E、D、F，求證：PE-PF=CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過C作CG⊥PE于G，由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到CDEG為矩形，得到CD=EG，由一對直角相等，一對對頂角相等，且AC=AC，利用AAS得到三角形PCG與三角形PCF全等，利用全等三角形邊相等得到PF=PG，由PE-PG=PE-PF=EG=CD，即可得證．

解答：證明：過C作CG⊥PE于G，
∵PE⊥AB，CD⊥AB，CG⊥PE，
∴四邊形CDEG是矩形，
∴CD=EG，
∵PF⊥AC，
∴∠PFC=90°，
∵CG⊥PE，
∴∠PGC=90°，
∴∠PFC=∠PGC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CG⊥PE，AB⊥PE，
∴CG∥AB，
∴∠ABC=∠PCG，
又∵∠ACB=∠PCF（對頂角相等），
∴∠PCG=∠PCF，
在△PCG和△PCF中，

∠PFC=∠PGC ∠PCG=∠PCF PC=PC

，
∴△PCG≌△PCF（AAS），
∴PF=PG，
∴PE-PG=PE-PF=EG=CD，
則PE-PF=CD．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．