Question

如圖，⊙O在矩形ABCD內(nèi)，且與AB、BC邊都相切，E是BC上一點，將△DCE沿DE對折，點C的對稱點F恰好落在⊙O上，已知AB=20，BC=25，CE=10，則⊙O的半徑為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),矩形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：過點F作AD，BC的垂線GH，過O作MN∥BC交AB于M，GH于N，易證△DGF∽△FHE，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DG=HC=16，GF=12，F(xiàn)H=8，設圓O的半徑為r，在直角三角形FON中，利用勾股定理可得關于r的方程，解方程求出r的值即可．

解答：解：
過點F作AD，BC的垂線GH，過O作MN∥BC交AB于M，GH于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵將△DCE沿DE對折，點C的對稱點F恰好落在⊙O上，
∴∠DFE=90°，
∴∠GFD+∠HFE=90°，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠GDF=∠HFE，
∴△DGF∽△FHE，
∴

DG

FH

=

GF

HE

=

DF

EF

，
∵AB=20，BC=25，CE=10，
∴DG=HC=16，GF=12，F(xiàn)H=8，
設圓O的半徑為r，
在直角三角形FON中，r²=（9-r）²+（8-r）²，
解得：r=5，
故答案為：5．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，題目的綜合性較強，難度較大，對學生的解題能力要求很高．