Question

如圖，在△ABC中，D是BC的垂直平分線DH上一點，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延長線于E，且BF=CE．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度數(shù)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接BD，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BD=CD，再利用“HL”證明Rt△BDF和Rt△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CDE=∠BDF，求出∠BDC=∠EDF，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠EDF，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．

解答：（1）證明：如圖，連接BD，
∵DH垂直平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，

BD=CD BF=CE

，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴DE=DF，
∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC；

（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠BAC=80°，
∴∠EDF=360°-90°×2-80°=100°，
∴∠BDC=100°，
∵BD=CD，
∴∠DCB=

1

2

（180°-100°）=50°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于（2）求出∠BDC=∠EDF．