Question

如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．

（1）求證：△BCE≌△DCF；

（2）若AB=17，AD=9，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．

【分析】（1）求出CE=CF，∠F=∠CEB=90°，根據(jù)HL證出兩三角形全等即可．

（2）求出DF=BE，證Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF=AE，設(shè)DF=BE=x，得出方程17﹣x=9+x，求出x，即可求出答案．

【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，

在Rt△BCE與Rt△DCF中，，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；

（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴DF=BE，

∵∠F=∠CEA=90°，

∴在Rt△AFC和Rt△AEC中

∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），

∴AF=AE，

設(shè)DF=BE=x

∵AB=17，AD=9，

∴17﹣x=9+x

解得：x=4

∴AE=17﹣4=13．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．