Question

【題目】問題提出：

如圖，圖①是一張由三個(gè)邊長為 1 的小正方形組成的“L”形紙片，圖②是一張 a× b 的方格紙（a× b的方格紙指邊長分別為 a，b 的矩形，被分成 a× b個(gè)邊長為 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 為正整數(shù)） ．把圖①放置在圖②中，使它恰好蓋住圖②中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？

問題探究：

為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后得出一般性的結(jié)論．

探究一：

把圖①放置在 2× 2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？

如圖③，對于 2×2的方格紙，要用圖①蓋住其中的三個(gè)小正方形，顯然有 4 種不同的放置方法．

探究二：

把圖①放置在 3×2的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？

如圖④，在 3×2的方格紙中，共可以找到 2 個(gè)位置不同的 2 ×2方格，依據(jù)探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在 3×2 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有 2 ×4＝8種

不同的放置方法．

探究三：

把圖①放置在 a ×2 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？

如圖⑤， 在 a ×2 的方格紙中，共可以找到______個(gè)位置不同的 2×2方格，依據(jù)探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在 a× 2 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有______種不同的放置方法．

探究四：

把圖①放置在 a ×3 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？

如圖⑥，在 a ×3 的方格紙中，共可以找到______個(gè)位置不同的 2×2方格，依據(jù)探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在 a ×3 的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有_____種不同的放置方法．

……

問題解決：

把圖①放置在 a ×b的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有多少種不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖．）

問題拓展：

如圖，圖⑦是一個(gè)由 4 個(gè)棱長為 1 的小立方體構(gòu)成的幾何體，圖⑧是一個(gè)長、寬、高分別為 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整數(shù)）的長方體，被分成了a×b×c個(gè)棱長為 1 的小立方體．在圖⑧的不同位置共可以找到______個(gè)圖⑦這樣的幾何體．

Answer 1

【答案】探究三：， ；探究四：， ；問題解決：共有種不同的放置方法；問題拓展：8(a-1)(b-1)(c-1).

【解析】

對于圖形的變化類的規(guī)律題，首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．

探究三：

根據(jù)探究二，a×2的方格紙中，共可以找到（a-1）個(gè)位置不同的2×2方格，

根據(jù)探究一結(jié)論可知，每個(gè)2×2方格中有4種放置方法，所以在a×2的方格紙中，共可以找到（a-1）×4=（4a-4）種不同的放置方法；

故答案為a-1，4a-4；

探究四：

與探究三相比，本題矩形的寬改變了，可以沿用上一問的思路：邊長為a，有（a-1）條邊長為2的線段，

同理，邊長為3，則有3-1=2條邊長為2的線段，

所以在a×3的方格中，可以找到2（a-1）=（2a-2）個(gè)位置不同的2×2方格，

根據(jù)探究一，在在a×3的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有（2a-2）×4=（8a-8）種不同的放置方法．

故答案為2a-2，8a-8；

問題解決：

在a×b的方格紙中，共可以找到（a-1）（b-1）個(gè)位置不同的2×2方格，

依照探究一的結(jié)論可知，把圖①放置在a×b的方格紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有4（a-1）（b-1）種不同的放置方法；

問題拓展：

發(fā)現(xiàn)圖⑦示是棱長為2的正方體中的一部分，利用前面的思路，

這個(gè)長方體的長寬高分別為a、b、c，則分別可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）條邊長為2的線段，

所以在a×b×c的長方體共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的2×2×2的正方體，

再根據(jù)探究一類比發(fā)現(xiàn)，每個(gè)2×2×2的正方體有8種放置方法，

所以在a×b×c的長方體中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）個(gè)圖⑦這樣的幾何體；

故答案為8（a-1）（b-1）（c-1）．