Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的解析式是y=x．
（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（-2，5）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′、C′的位置，并寫出它們的坐標(biāo)；
（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

 

（直接寫出，不必證明）；
（3）已知兩點(diǎn)D（2，1）、E（-1，-4），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸為第一、三象限的角平分線，結(jié)合圖形得出B′、C′兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由（1）的結(jié)論，并與B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行比較，得出一般規(guī)律；
（3）由軸對(duì)稱性作出滿足條件的Q點(diǎn)，求出直線D′E的解析式，與直線y=x聯(lián)立，可求Q點(diǎn)的坐標(biāo)，得出結(jié)論．

解答：（解：（1）如圖：B'（3，5），C'（5，-2）；

（2）點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（b，a）； 　                    

（3）由（2）得，D（2，1）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D'的坐標(biāo)為（1，2），
連接D'E交直線l于點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，
設(shè)過D'（1，2）、E（-1，-4）直線的解析式為y=kx+b，則

k+b=2 -k+b=-4

∴

k=3 b=-1

∴y=3x-1．                    
 由

y=3x-1 y=x

得

x= 1 2 y= 1 2

；
∴所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由軸對(duì)稱的知識(shí)，結(jié)合圖形，得出關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系．