【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(﹣1,0)和B(5,0)兩點,交y軸于點C,點D是線段OB上一動點,連接CD,將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,過點E作直線l⊥x軸于H,交拋物線于點M,過點C作CF⊥l于F.

(1)求拋物線解析式;

(2)如圖2,當點F恰好在拋物線上時(與點M重合)

①求點F的坐標;

②求線段OD的長;

③試探究在直線l上,是否存在點G,使∠EDG=45°?若存在,請直接寫出點G的坐標;若不存在,請說明理由.

(3)在點D的運動過程中,連接CM,若△COD∽△CFM,請直接寫出線段OD的長.

【答案】(1)y=;(2)①(4,3);②1;

③存在,點G的坐標為(4,6)或(4,﹣).理由見解析;(3)

【解析】分析:(1)先求得點C的坐標,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣5),將點C的坐標代入求得a的值即可;(2)由題意可知CFx軸,則點F縱坐標為3,將y=3代入拋物線的解析式可求得點F的橫坐標;先證明RtOCDRtHDE,從而得到CO=DH=3,然后由OH=4,可得到OD=1;將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN,則N(3,4)且四邊形CDEN為正方形,然后可求得點N的坐標,接下來求得DG的解析式,然后可求得點G的坐標,由DGDG′以及點D的坐標可求得DG′的解析式,然后可求得點G′的坐標;(3)設(shè)點D的坐標為(a,0),則點M的坐標(a+3,﹣ a2a+),然后可求得FM的長,然后由COD∽△CFM,可得到,最后依據(jù)上述比例關(guān)系列出關(guān)于a的方程求解即可.

本題解析;

(1)把x=0代入拋物線的解析式得:y=3,∴C(0,3).

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣5),將點C的坐標代入得:﹣5a=3,解得:a=﹣

拋物線的解析式為y=

(2)①∵CF⊥l,OB⊥l,

∴CF∥x軸.

點F的縱坐標為3.

將y=3代入拋物線的解析式得:﹣x2+x+3=3,解得x=0或x=4.

點F的坐標為(4,3).

②∵點F的坐標為(4,3),

點H的坐標為(4,0).

∵∠CDE=90°,

∴∠CDO+∠EDH=90°.

∵∠OCD+∠CDO=90°,

∴∠OCD=∠EDH.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:CD=DE.

在RtOCD和RtHDE中, ,

∴Rt△OCD≌Rt△HDE.

∴CO=DH=3.

∵OH=4,

∴OD=1.

如圖1所示:將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN,則N(3,4)且四邊形CDEN為正方形.

四邊形CDEN為正方形,

∴∠GDE=45°.

設(shè)DN的解析式為y=kx+b,將點D和點N的坐標代入得: ,解得:k=2,b=﹣2.

DN的解析式為y=2x﹣2.

把x=4代入得:y=6,

∴G(4,6).

設(shè)直線DG′的解析式為y=﹣x+c,將點D的坐標代入得:﹣ +c=0,解得:c=

直線DG′的解析式為y=﹣x+

將x=4代入得:y=﹣

點G′的坐標為(4,﹣).

綜上所述,點G的坐標為(4,6)或(4,﹣).

(3)如圖2所示:

設(shè)點D的坐標為(a,0),則點M的坐標(a+3,﹣ a2a+).

FM=﹣a2a+

∵△COD∽△CFM,

,即

整理得:14a2+33a﹣27=0,解得a=或a=﹣3(舍去).

OD=

如圖3所示:

設(shè)點D的坐標為(a,0),則點M的坐標(a+3,﹣ a2a+).

FM=a2+a﹣

∵△COD∽△CFM,

, ,整理得:4a2+3a﹣27=9,解得:a=﹣3(舍去)或a=

OD=

綜上所述,OD的長為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知ABCD中,DE是∠ADC的角平分線,交BC于點E

(1)求證:CD=CE
(2)若BE=CE , 求證:AEDE.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列各組數(shù)可能是一個三角形的邊長的是

A. 12,4 B. 45,9 C. 4,6,8 D. 55,11

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知一組數(shù)據(jù)x1 , x2 , …,xn的方差是s2 , 則新的一組數(shù)據(jù)ax1+1,ax2+1,…,axn+1(a為非零常數(shù))的方差是(用含a和s2的代數(shù)式表示).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知:如圖①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E.點F是點E關(guān)于AB的對稱點,連接AF、BF.

(1)求AE和BE的長;

(2)若將△ABF沿著射線BD方向平移,平移中的△ABF為△A1B1F1設(shè)平移的距離為m(平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度).

①當點F分別平移到線段AB上時,求出m的值

②當點F分別平移到線段AD上時,當直接寫出相應(yīng)的m的值.

(3)如圖②,將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α(0°<α<180°),記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)A′F′所在的直線與直線AE交于點O,當∠A′BD=∠FAB時,請直接寫出OB的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,點(3,﹣2)所在象限是(

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,以扇形OAB的頂點O為原點,半徑OB所在的直線為軸,建立平面直角坐標系,點B的坐標為(2,0),若拋物線與扇形OAB的邊界總有兩個公共點,則實數(shù)的取值范圍是________________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,線段A′B′是由線段AB經(jīng)過平移得到的,已知點A(﹣2,1)的對應(yīng)點為A′(3,﹣1),點B的對應(yīng)點為B′(4,0),則點B的坐標為( )
A.(9,﹣1)
B.(﹣1,0)
C.(3,﹣1)
D.(﹣1,2)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案