Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，∠C=30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF.

（1）求證：AE=DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）能；當(dāng)t=時(shí)，四邊形AEFD為菱形；（3）當(dāng)或4時(shí)，△DEF為直角三角形.

【解析】

（1）在Rt△DFC中利用30度所對(duì)的邊是斜邊的一半得到DF=t，故AE=DF；

（2）易證四邊形AEFD為平行四邊形，得到AD=10-2t，菱形必須有AE=AD，列出方程解出t即可；（3）△DEF為直角三角形有三種情況，對(duì)三種情況分別進(jìn)行計(jì)算考慮即可

解：（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t，

又∵AE=t，∴AE=DF；

（2）能；理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，又AE=DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∵AB==5，

∴AC=2AB=10，

∴AD=AC-DC=10-2t，

若使AEFD為菱形，則需AE=AD，即t=10-2t，t=，

即當(dāng)t=時(shí)，四邊形AEFD為菱形；

（3）①∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE，即10-2t=2t，t=；

②∠DEF=90°時(shí)，由（2）知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

∵∠A=90°-∠C=60°，

∴AD=AE，即10-2t=t，t=4；

③∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在；

綜上所述，當(dāng)或4時(shí)，△DEF為直角三角形.