Question

（14分）如圖一條拋物線（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.

（1）“拋物線三角形”一定是_______________三角形；（2分）

（2）若拋物線y=－x2+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（6分）

（3）如圖，△OAB是拋物線y=－x2+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由．（6分）

Answer 1

（1）等腰；（2）b=2；（3）y=x+2x.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得三角形為等腰三角形；（2）首先根據(jù)y=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出b的值；（3）首先作△OCD和△OAB成中心對稱圖形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OE和OA的長度，然后根據(jù)三角形的性質(zhì)求出b′的值，根據(jù)b′的值求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.

試題解析：（1）等腰

（2）當(dāng)y=0時(shí)，－x+bx=0 解得：=0，=b ∴B（b,0），即：OB=b

∵拋物線y=－x+bx的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）， 且“拋物線三角形”是等腰直角三角形

∴= 解得：=0（舍去），=2 ∴b的值為2

（3）存在，

如圖，作△OCD與△OAB關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱，

則四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)OA=OB時(shí)，四邊形ABCD為矩形

∵OA=OB，OA=AB ∴△OAB是等邊三角形 過點(diǎn)A作AE⊥OB于E，則∠OAE=30°，OE=

∴OA= ∵頂點(diǎn)A（，）， ∴=

解得：=0（舍去），=2 ∴A（，3），B（2，0）

∴C（－，－3），D（－2，0）

設(shè)過C、D、O的解析式為y=ax+mx（a≠0），則 解得：

∴所求拋物線的解析式為y=x+2x.

考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì).