【題目】在△ABC中,AB=AC,BC=12,E為邊AC的中點(diǎn),
(1)如圖1,過點(diǎn)E作EH⊥BC,垂足為點(diǎn)H,求線段CH的長;
(2)作線段BE的垂直平分線分別交邊BC、BE、AB于點(diǎn)D、O、F.
①如圖2,當(dāng)∠BAC=90°時,求BD的長;
②如圖3,設(shè)tan∠ACB=x,BD=y,求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式和tan∠ACB的最大值.
【答案】(1)3(2)5(3)①②
【解析】試題分析:(1)點(diǎn)A作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G,則EH∥AG,由等腰三角形的性質(zhì)得CG=6,再由E為AC中點(diǎn)可得H為CG的中點(diǎn).
(2)①過點(diǎn)E作于點(diǎn)H,設(shè),在Rt△EDH中可得,解方程求出x的值;由 ,可得, ,在中,根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式,然后整理可得y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;求tan∠ACB的最大值有兩種方法一是利用正切的增減性,二是利用數(shù)形結(jié)合.
解:(1)點(diǎn)A作AG⊥BC交BC于點(diǎn)G.
∵,
∴,
∵E為AC中點(diǎn),EH∥AG,
∴H為CG的中點(diǎn),∴CH=3,
⑵①過點(diǎn)E作于點(diǎn)H,
∵△ABC是等腰直角三角形,則CH=EH=3,
設(shè),則, ,
Rt△EDH中, ,
解之得, ,
即BD=5,
②∵ ,
∴, ,
在中,
,
∴,
方法一:由得, ,
當(dāng)y有最大值時,x有最大值.即tan∠ACB有最大值.
∴當(dāng)y=12時, , (負(fù)的舍去),
∴tan∠ACB最大值為,
或方法二:當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時,tan∠ACB最大,
,
.
BC邊的高為,
此時tan∠ACB=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC 中,AB=AC,D 是直線 BC 上一點(diǎn)(不與點(diǎn) B、C 重合),以 AD 為一邊在 AD的右側(cè)作△ADE,AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接 CE.
(1)如圖 1,當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 上時,求證:△ABD≌△ACE;
(2)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 上時,如果∠BAC=90°,求∠BCE 的度數(shù);
(3)如圖 3,若∠BAC=α,∠BCE=β.點(diǎn) D 在線段 CB 的延長線上時,則α、β之間有怎樣 的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,O為菱形ABCD的對稱中心,已知C(2,0),D(0,﹣1),N為線段CD上一點(diǎn)(不與C、D重合).
(1)求以C為頂點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)D的拋物線解析式;
(2)設(shè)N關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為N1,N關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為N2,求證:△N1BN2∽△ABC;
(3)求(2)中N1N2的最小值;
(4)過點(diǎn)N作y軸的平行線交(1)中的拋物線于點(diǎn)P,點(diǎn)Q為直線AB上的一個動點(diǎn),且∠PQA=∠BAC,求當(dāng)PQ最小時點(diǎn)Q坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線,F是AD邊上的動點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時,∠ECF的度數(shù)為( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線交y軸于點(diǎn)A,交直線x=6于點(diǎn)B.
(1)填空:拋物線的對稱軸為x=_________,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為__________(用含a的代數(shù)式表示);
(2)若直線AB與x軸正方向所夾的角為45°時,拋物線在x軸上方,求的值;
(3)記拋物線在A、B之間的部分為圖像G(包含A、B兩點(diǎn)),若對于圖像G上任意一點(diǎn),總有≤3,求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O,將∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合,則∠OEC為 度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,從A地到B地的公路需經(jīng)過C地,圖中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市規(guī)劃的需要,將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路.
(1)求改直的公路AB的長;
(2)問公路改直后比原來縮短了多少千米?(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1所示,△ABC中,∠ACB的角平分線CF與∠EAC的角平分線AD的反向延長線交于點(diǎn)F;
①若∠B=90°則∠F= ;
②若∠B=a,求∠F的度數(shù)(用a表示);
(2)如圖2所示,若點(diǎn)G是CB延長線上任意一動點(diǎn),連接AG,∠AGB與∠GAB的角平分線交于點(diǎn)H,隨著點(diǎn)G的運(yùn)動,∠F+∠H的值是否變化?若變化,請說明理由;若不變,請求出其值.
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