【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,O為菱形ABCD的對(duì)稱中心,已知C(2,0),D(0,﹣1),N為線段CD上一點(diǎn)(不與C、D重合).
(1)求以C為頂點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的拋物線解析式;
(2)設(shè)N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為N1,N關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為N2,求證:△N1BN2∽△ABC;
(3)求(2)中N1N2的最小值;
(4)過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線交(1)中的拋物線于點(diǎn)P,點(diǎn)Q為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠PQA=∠BAC,求當(dāng)PQ最小時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2(2)證明見(jiàn)解析(3)(4)
【解析】試題分析:(1)用待定系數(shù)法求,即可;
(2)由對(duì)稱的特點(diǎn)得出∠N1BN2=2∠DBC結(jié)合菱形的性質(zhì)即可;
(3)先判定出,當(dāng)BN⊥CD時(shí),BN最短,再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式,求解,即可;
(4)先建立PE=m2﹣m+2函數(shù)解析式,根據(jù)拋物線的特點(diǎn)確定出最小值.
試題解析:(1)由已知,設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2
把D(0,﹣1)代入,得a=﹣
∴y=﹣(x﹣2)2
(2)如圖1,連結(jié)BN.
∵N1,N2是N的對(duì)稱點(diǎn)
∴BN1=BN2=BN,∠N1BD=∠NBD,∠NBC=∠N2BC
∴∠N1BN2=2∠DBC
∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC,∠ABC=2∠DBC
∴∠ABC=∠N1BN2,
∴△ABC∽△N1BN2
(3)∵點(diǎn)N是CD上的動(dòng)點(diǎn),
∴點(diǎn)到直線的距離,垂線段最短,
∴當(dāng)BN⊥CD時(shí),BN最短.
∵C(2,0),D(0,﹣1)
∴CD=,
∴BNmin=,
∴BN1min=BNmin=,
∵△ABC∽△N1BN2
∴,
N1N2min=,
(4)如圖2,
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸,交AB于點(diǎn)E.
∵∠PQA=∠BAC
∴PQ1∥AC
∵菱形ABCD中,C(2,0),D(0,﹣1)
∴A(﹣2,0),B(0,1)
∴lAB:Y=x+1
不妨設(shè)P(m,﹣(m﹣2)2),則E(m, m+1)
∴PE=m2﹣m+2
∴當(dāng)m=1時(shí),
此時(shí),PQ1最小,最小值為=,
∴PQ1=PQ2=.
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A.有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形
B.等角的余角相等
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D.同位角相等
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【題目】某中學(xué)在百貨商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了A、B兩種品牌的籃球,購(gòu)買(mǎi)A品牌藍(lán)球花費(fèi)了2400元,購(gòu)買(mǎi)B品牌藍(lán)球花費(fèi)了1950元,且購(gòu)買(mǎi)A品牌藍(lán)球數(shù)量是購(gòu)買(mǎi)B品牌藍(lán)球數(shù)量的2倍,已知購(gòu)買(mǎi)一個(gè)B品牌藍(lán)球比購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A品牌藍(lán)球多花50元.
(1)求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的藍(lán)球各需多少元?
(2)該學(xué)校決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌藍(lán)球共30個(gè),恰逢百貨商場(chǎng)對(duì)兩種品牌藍(lán)球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整,A品牌藍(lán)球售價(jià)比第一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)提高了10%,B品牌藍(lán)球按第一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)售價(jià)的9折出售,如果這所中學(xué)此次購(gòu)買(mǎi)A、B兩種品牌藍(lán)球的總費(fèi)用不超過(guò)3200元,那么該學(xué)校此次最多可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)B品牌藍(lán)球?
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