Question

如圖，直線y=-

3

4

x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）如果以原點(diǎn)為圓心作一半徑為2.5的圓，判斷⊙O與AB的關(guān)系；
（2）若⊙O與AB相交于M、N兩點(diǎn)，且∠MON=90°，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先由直線的解析式，可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可得知OA的長度，作OC⊥AB交AB于點(diǎn)C，由sin∠OAB=

3

5

，可求得以原點(diǎn)為圓心的半徑，即可得出⊙O與AB的關(guān)系．
（2）作OC⊥AB交AB于點(diǎn)C，OM⊥ON，OC=

12

5

，∠MON=90°，OM=ON，可得△OMN是等腰直角三角形，可得出ON的值，即可得出⊙O的半徑．

解答：解：∵直線y=-

3

4

x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)．
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，
如圖1，作OC⊥AB交AB于點(diǎn)C，

∵sin∠OAB=

OB

AB

=

3

5

，
∴

OC

OA

=

3

5

，
∴OC=

12

5

=2.4，
∴以原點(diǎn)為圓心作一半徑為2.5的圓，⊙O與AB相交；
（2）如圖2，作OC⊥AB交AB于點(diǎn)C，OM⊥ON，

∵OC=

12

5

，
又∵∠MON=90°，OM=ON，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴ON=

2

CO=

12 2

5

，即⊙O的半徑為

12 2

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用圓的半徑相等得出△OMN是等腰直角三角形．