Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)y=-（x+1）（x-a）（a為正數(shù)）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．直線l過M（0，m）（0＜m＜2且m≠1）且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點(diǎn)D、E．二次函數(shù)y=-（x+1）（x-a）的圖象關(guān)于直線l的對(duì)稱圖象與y軸交于點(diǎn)P．設(shè)直線PD與x軸交點(diǎn)為Q，則：

（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求AD的值（用含m的代數(shù)式表示）；

（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使CDAQ=PQDE？若能，則求出相應(yīng)的m的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），C（0，2），（2）AD=；（3）當(dāng)a＞1時(shí)，才存在實(shí)數(shù)m使得△PQA∽△CDE，從而有CDAQ=PQDE，此時(shí)m=；當(dāng)0＜a≤1時(shí)，不存在實(shí)數(shù)m使得CDAQ=PQDE．

【解析】

（1）分別令x=0和y=0代入y=-（x+1）（x-a）中可求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，根據(jù)待定系數(shù)法求直線AC的解析式，表示點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用勾股定理可得AD的長；

（3）根據(jù)∠PQA=∠PDE，和CDAQ=PQDE，可知：△PQA∽△CDE，由對(duì)稱可知：△CDE≌△PDE，

△PQA∽△PDE，分兩種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，點(diǎn)P在x軸下方，如圖2，

②當(dāng)1＜m＜2時(shí)，如圖3，從相似入手，第一種情況不可能相似所以不成立，第二種情況根據(jù)相似列比例式可得m的值．

（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-×1×（-a）=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），

當(dāng)y=0時(shí)，y=-（x+1）（x-a）=0，

∴x1=-1，x2=a，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）；

（2）如圖1，設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

把A（-1，0），C（0，2）代入得：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=2x+2，

∵DM∥x軸，且M（0，m），

∴D（，m），

由勾股定理得：AD==；

（3）∵l∥x軸，

∵∠PQA=∠PDE，

當(dāng)CDAQ=PQDE，即，

則△PQA∽△CDE，

由對(duì)稱可知：△CDE≌△PDE，

∴△PQA∽△PDE，

分兩種情況：

①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，點(diǎn)P在x軸下方，如圖2，連接PA和PE，

此時(shí)∠PQA顯然為鈍角，

而∠PDE顯然為銳角，故此時(shí)不能有△PQA∽△CDE．

②當(dāng)1＜m＜2時(shí)，如圖3，連接PA和PE，

∵M（0，m），

∴OM=m，

∴CM=2-m，

∵CM=PM=2-m，

∴OP=OM-PM=m-（2-m）=2m-2，

∵△APQ∽△EPD，

∴，

∵D（，m），P（0，2m-2），

易得DP的解析式為：y=-2x+2m-2，

當(dāng)y=0時(shí)，-2x+2m-2=0，

x=m-1，

∴Q（m-1，0），

∴AQ=1+m-1=m，

∵B（a，0），C（0，2），

易得直線BC的解析式為：y=-x+2，

當(dāng)y=m時(shí)，-x+2=m，

x=，

∴E（，m），

∴DE==，

∴，

∴m=，而此時(shí)1＜m＜2，

則應(yīng)有1＜＜2，由此知a＞1．

綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，才存在實(shí)數(shù)m使得△PQA∽△CDE，從而有CDAQ=PQDE，此時(shí)m=；當(dāng)0＜a≤1時(shí)，不存在實(shí)數(shù)m使得CDAQ=PQDE．